八角化六阶正方形镶嵌
在几何学中，八角化六阶正方形镶嵌又称为四角化六阶四菱形镶嵌是一种双曲面镶嵌，其为半正镶嵌大斜方截半四阶六边形镶嵌的对偶镶嵌，整体由直角三角形拼合，密铺于双曲平面。八角化六阶正方形镶嵌是将六阶正方形镶嵌中的每一个正方形从重心分割为八个全等的直角三角形所组成的镶嵌，其面的布局以符号V4.8.12表示形成的公共顶点有4个三角形、8个三角形和12个三角形的三种公共顶点。
 庞加莱圆盘模型 | ||
| 类别 | 双曲半正镶嵌对偶 双曲镶嵌 | |
|---|---|---|
| 对偶多面体 | 大斜方截半四阶六边形镶嵌 | |
| 数学表示法 | ||
| 考克斯特符号 |    | |
| 施莱夫利符号 | dtr{6,4} | |
| 组成与布局 | ||
| 面的种类 | 直角三角形 | |
| 面的布局 | V4.8.12 | |
| 对称性 | ||
| 对称群 | [6,4], (*642) | |
| 旋转对称群 | [6,4]+, (642) [4+,6] | |
| 特性 | ||
| 面可递 | ||
| 图像 | ||
| ||
结构
八角化六阶正方形镶嵌又称为四角化六阶四菱形镶嵌是因为其可以视为六阶四菱形镶嵌经过四角化（Kleetope）变换而构造出来的象。它也可以视为将四阶六边形镶嵌中的每一个正六边形从重心分割为12个全等的直角三角形所组成的镶嵌，即十二角化四阶六边形镶嵌。
八角化六阶正方形镶嵌的结构是不可能存在于平面上的，由于在欧氏几何中过六边形重心内分割出来三角形应为30-60-90的直角三角形，然而在此结构中60度角又可以做为正方形的内角，因此此结构在欧氏几何中得到矛盾无法存在，只能存在于罗氏几何中。
在艺术中
《圆极限IV》以八角化六阶正方形镶嵌对称性绘制的艺术作品
在艾雪的《圆极限 IV（天堂和地狱[1]）》作品[2]用了此种镶嵌将蝙蝠与天使画在庞加莱圆盘模型上[3]，天使和蝙蝠的头部与翅膀皆位于八角化六阶正方形镶嵌的顶点上，其中翅膀的位置是经过精心设计计算的[4]，正好位于六阶正方形镶嵌或四阶六边形镶嵌的顶点上，因此其对称群与八角化六阶正方形镶嵌相同，同为[4+,6][5]。
相关多面体及镶嵌
八角化六阶正方形镶嵌为大斜方截半四阶六边形镶嵌的对有镶嵌，与一系列的大斜方截半四阶多边形镶嵌及其对偶有类似的拓朴结构：
| 对称群 *n42 [n,4] |
球面镶嵌 | 欧氏镶嵌 | 紧凑型双曲镶嵌 | 仿紧空间 | 非紧空间 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| *242 [2,4] D4h |
*342 [3,4] Oh |
*442 [4,4] P4m |
*542 [5,4] |
*642 [6,4] |
*742 [7,4] |
*842 [8,4]... |
*∞42 [∞,4] |
[iπ/λ,4] | |
| 大斜方截半 顶点 |
4.8.4 |
4.8.6 |
4.8.8 |
4.8.10 |
4.8.12 |
4.8.14 |
4.8.16 |
4.8.∞ |
4.8.∞ |
| 考克斯特纪号 施莱夫利符号 |
tr{2,4} |
tr{3,4} |
tr{4,4} |
tr{5,4} |
tr{6,4} |
tr{7,4} |
tr{8,4} |
tr{∞,4} |
tr{iπ/λ,4} |
| 大斜方截半 对偶 |
V4.8.4 |
V4.8.6 |
V4.8.8 |
V4.8.10 |
V4.8.12 |
V4.8.14 |
V4.8.16 |
V4.8.∞ |
V4.8.∞ |
| 考克斯特纪号 | |||||||||
参见
参考文献
- ^ Theoni Pappas:《数学放轻松》, 陈以鸿译, 台北市, 世茂出版社，M. C. Escher《Circle Limit IV》, 1960, CAordon Art-Baarn-Holland
- ^ E.H贡布里西:《秩序感》，范景中、杨思梁、徐一维译，长沙，湖南科学技术出版社，2000年版，第10页
- ^ 张小华, 吴卫:. 《埃舍尔作品风格转变新论——艺术与科学相恋：从契合到渐变再到分形》. 湖南工业大学 包装设计艺术学院: 2.3 分形风格的蒂落 ，. 2006-09-29 [2014-06-16]. （原始内容存档于2014-07-14）.
- ^ The symmetry of M.C. Escher’s Circle Limit IV pattern and related patterns (PDF). d.umn.edu. [2014-06-16]. （原始内容存档 (PDF)于2015-12-23）.
- Grünbaum, Branko ; and Shephard, G. C. Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. 1987. ISBN 0-7167-1193-1. (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, p.58-65)
- Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. p41