三角柱堆砌

在几何学中，三角柱堆砌是一种由三角柱独立填满三维空间的几何结构[1]。三角柱堆砌有两种情况，一种为侧面对侧面，底面对底面且所有三角柱底面互相平行的方式堆砌而成，可称为同相三角柱堆砌；另一种为三角柱两两一组以异相双三角柱的组合方式为单位独立填满三维空间的几何结构，可称为异相三角柱堆砌。一般文献中指的三角柱堆砌（Triangular prismatic honeycomb）通常表示同相三角柱堆砌[2]。这种三角柱堆砌是28种由均匀多面体组成的堆砌体之一[2]，其对偶堆砌体为六角柱堆砌。

三角柱堆砌
Triangular prismatic honeycomb.png
类型凸均匀堆砌
维度3
对偶多胞形六角柱堆砌
Hexagonal prismatic honeycomb.png
数学表示法
施莱夫利符号{3,6}×{∞} 、 t0,3{3,6,2,∞}
性质
胞三角柱
Triangular prism.png
面正三角形 Red Equilateral triangle(R=204,GB=0).svg
正方形 Red equilateral square.svg
组成与布局
顶点图双六角锥
Hexagonale Pyramide.png
对称性
考克斯特群[6,3,2,∞]
[3[3],2,∞]
[(3[3])+,2,∞]
特性
胞可递、点可递

性质

三角柱堆砌的所有包皆为三角柱组成，因此其具有胞可递的特性，这意味着，这几何结构上的任意两个面A和B，透过旋转或镜射这个几何结构，使A移动到B原来的位置时，其胞仍然占据了相同的空间区域[3]。三角柱堆砌的每个顶点都是12个三角柱的公共顶点[4]，因此三角柱堆砌也具有点可递的特性。三角柱堆砌有两种棱，一种是4个三角柱的公共棱，另一种是6个三角柱的公共棱，因此三角柱堆砌不具有棱可递的特性。

胞的组成

主条目：三角柱

三角柱堆砌的胞为三角柱，因此三角柱也是一种空间填充多面体[5]。

对偶堆砌体

三角柱堆砌的对偶堆砌体为六角柱堆砌[6]。六角柱堆砌是一种由六角柱独立填满三维空间的几何结构[7]。

相关堆砌体

六角柱堆砌

六角柱堆砌
 
类型堆砌
维度3
对偶多胞形三角柱堆砌
 
数学表示法
施莱夫利符号{6,3}×{∞} 、 t0,1,3{6,3,2,∞}
性质
胞六角柱
 
对称性
考克斯特群[6,3,2,∞]
[3[3],2,∞]
特性
胞可递、点可递

六角柱堆砌是一种由六角柱独立填满三维空间的几何结构[7]，其为三角柱堆砌的对偶堆砌体。[6]

性质

六角柱堆砌的所有包皆为六角柱组成，因此其具有胞可递的特性；其每个顶点都是6个六角柱的公共顶点[4]，因此六角柱堆砌也具有点可递的特性。六角柱堆砌有两种棱，一种是4个六角柱的公共棱，另一种是3个六角柱的公共棱，因此六角柱堆砌并不具有棱可递的特性。

胞的组成
主条目：六角柱

三角柱堆砌的胞为六角柱，因此六角柱也是一种空间填充多面体[8]。

 

对偶堆砌体

六角柱堆砌的对偶堆砌体为三角柱堆砌。三角柱堆砌是一种由三角柱独立填满三维空间的几何结构[7]。

异相三角柱堆砌

异相三角柱堆砌
 
类型堆砌
维度3
对偶多胞形柱状异相双三角柱堆砌
 
数学表示法
施莱夫利符号{3,6}:g×{∞}
{4,4}f{∞}
性质
胞三角柱
 
对称性
考克斯特群[6,3,2,∞]
[3[3],2,∞]
特性
点可递

异相三角柱堆砌是一种三角柱堆砌，其同样由三角柱独立堆砌而成，但其是以各三角柱底面并非全部互相平行的方式完成堆砌，其是透过三角柱两两一组以异相双三角柱的组合方式为单位独立填满三维空间的几何结构。由于组成异相三角柱堆砌的胞——三角柱是一种柱形均匀多面体，因此异相三角柱堆砌也可以视为一种均匀堆砌体[9]。异相三角柱堆砌的对偶堆砌体为由柱状异相双三角柱（扭棱锲形体的对偶多面体）组成的堆砌体[6]。

  

异相双三角柱堆砌

异相双三角柱堆砌是一种由异相双三角柱独立填满三维空间的几何结构，其顶点与异相三角柱堆砌共用的几何结构，其可以视为将异相三角柱堆砌中每两个可组合成异相双三角柱的胞，两两一组视为同一个胞。异相双三角柱堆砌是唯一一种由詹森多面体填满三维空间的几何结构[10][11][12]。

胞的组成
主条目：异相双三角柱

异相双三角柱堆砌的胞为异相双三角柱，同时，异相双三角柱也是唯一一种能独立填满空间的詹森多面体[11][12]。

同相三角柱-立方体堆砌

同相三角柱-立方体堆砌
 
类型堆砌
维度3
数学表示法
施莱夫利符号{3,6}:e×{∞}
s{∞}h1{∞}×{∞}
性质
胞三角柱
 
立方体
 
对称性
考克斯特群[∞,2+,∞,2,∞]
[(∞,2)+,∞,2,∞]
特性
点可递

同相三角柱-立方体堆砌是一种由三角柱和立方体共同堆砌填满空间的几何结构，可以视为在同相三角柱堆砌与立方体堆砌分层的组合结果，是28种由均匀多面体组成的堆砌体之一[13]。

 

异相三角柱-立方体堆砌

异相三角柱-立方体堆砌
 
类型堆砌
维度3
数学表示法
施莱夫利符号{3,6}:ge×{∞}
{4,4}f1{∞}
性质
胞三角柱
 
立方体
 
特性
点可递

异相三角柱-立方体堆砌是一种由三角柱和立方体共同堆砌填满空间的几何结构，可以视为在异相三角柱堆砌与立方体堆砌分层的组合结果，是28种由均匀多面体组成的堆砌体之一[13]。

  

柱状异相双三角柱堆砌

若将异相三角柱-立方体堆砌中，每个立方体与相邻的三角柱、和位于该三角柱所在立方体面对面的另一个三角柱为一组视为一个柱状异相双三角柱（扭棱锲形体的对偶多面体）所形成的一个纯粹由柱状异相双三角柱填满空间的几何结构则为异相三角柱堆砌的对偶堆砌体[6]。

 

参见

参考文献

  1. ^ Olshevsky, George. Uniform Panoploid Tetracombs. Unpublished manuscript. 2006. 
  2. ^ 2.0 2.1 Alex Doskey, Uniform Honeycombs in 3-Space (PDF), [2019-10-21], （原始内容存档 (PDF)于2019-10-21） 
  3. ^ McLean, K. Robin, Dungeons, dragons, and dice, The Mathematical Gazette, 1990, 74 (469): 243–256, JSTOR 3619822 .
  4. ^ 4.0 4.1 Uniform Honeycombs in 3-Space. polyhedra.doskey.com. [2019-10-21]. （原始内容存档于2016-04-04）. 
  5. ^ Weisstein, Eric W. (编). Triangular Prism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 M. Deza and M. I. Shtogrin, Uniform partitions of 3-space, their relatives and embedding, 1999 [2019-10-21], （原始内容存档于2019-10-15） 
  7. ^ 7.0 7.1 7.2 ALDS, Edgars Bervalds, Modris Dobelis, Pentahedral Honeycomb with Skew Hexagonal Faces (PDF), [2019-10-21], （原始内容存档 (PDF)于2019-10-21） 
  8. ^ Weisstein, Eric W. (编). Hexagonal Prism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  9. ^ George Olshevsky. Uniform Panoploid Tetracombs (PDF). [2019-10-21]. （原始内容存档 (PDF)于2016-03-29）. 
  10. ^ Subramanian, Sai Ganesh and Eng, Mathew and Krishnamurthy, Vinayak and Akleman, Ergun, Delaunay Lofts: A New Class of Space-filling Shapes, ACM SIGGRAPH 2019 Posters, SIGGRAPH '19 (Los Angeles, California: ACM), 2019: 81:1––81:2, ISBN 978-1-4503-6314-3, doi:10.1145/3306214.3338576 
  11. ^ 11.0 11.1 Alam, S. M. Nazrul; Haas, Zygmunt J., Coverage and Connectivity in Three-dimensional Networks, Proceedings of the 12th Annual International Conference on Mobile Computing and Networking (MobiCom '06), New York, NY, USA: ACM: 346–357, 2006, ISBN 1-59593-286-0, arXiv:cs/0609069  , doi:10.1145/1161089.1161128 .
  12. ^ 12.0 12.1 Kepler, Johannes, The Six-Cornered Snowflake, Paul Dry Books, Footnote 18, p. 146, 2010, ISBN 9781589882850 .
  13. ^ 13.0 13.1 Scholte, Timo, Bamboozle Structures and Honeycombs (PDF), Technische Universiteit Eindhoven, 2016 [2019-10-21], （原始内容存档 (PDF)于2019-10-21）