朱世杰恒等式
朱世杰恒等式是组合数的一阶求和公式。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》中,利用垛积术、招差术给出:
- [1],
或以代再与上式作差,写成:
- 。
证明
递归方法
欲证
- ,
可以反复使用帕斯卡法则合并左式首两项。
组合方法
从 元集 选 个元素,有 种方法。
必有 时,在 个元素中选 个元素,排除 ,必有 时,在 个元素中选 个元素,排除 ,如此类推,直到必有 时,在 个元素中选 个元素。
应用
朱世杰恒等式可应用于等幂求和问题。例如:
参考资料
- ^ 罗见今. 朱世傑—范德蒙公式的發展簡介. 数学传播 (中央研究院数学研究所). 2008-12, 32 (4 (128)) [2022-11-23].
- ^ 伍启期. 组合数列求和. 佛山科学技术学院学报(自然科学版). 1996, (4) [2014-05-24]. (原始内容存档于2019-05-02).
- ^ 田达武. 朱世杰恒等式及其应用. 数学教学通讯. 2009, (36) [2014-05-24]. (原始内容存档于2020-01-15).