等幂求和

等幂求和,即法乌尔哈贝尔公式(英语:Faulhaber's formula),是指求幂数相同的变数之和

常见公式

  • 三角形数 
  • 正方形数 
  • 调和级数 

一般数列的等幂和

自然数等幂和

 

 

 [1]

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 [1]

 [1]

 

 

 

 [1]

 ,其中  ,当m−k为大于1的奇数时, 

 [2],其中 伯努利数

 [3]

奇数等幂和与偶数等幂和

 

 

 

 

 

 

 

 

多项式求和

伯努利数也通用于等差数列的等幂和。[4]

 

也可以利用帕斯卡矩阵,把多项式的和写成矩阵相乘。

  [5][6][7]

其中 

也可以将数列表达成组合数然后利用朱世杰恒等式求和。

 [8]

多项式根的等幂和

 

牛顿公式

 [9]

组合公式

 

 

 
 

 

 

 
 

参见

参考资料

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 李政丰. 連續整數冪次和公式的另類思考 (PDF). 《数学传播》 (台北市: 中央研究院数学研究所). 2002-06, 26 (2): 页73–74,76 [2021-12-16]. (原始内容 (PDF)存档于2021-12-16) (中文(台湾)). 
  2. ^ 谈祥柏. 伯努利数. 科学. 1999, (4) [2014-04-18]. (原始内容存档于2019-06-10). 
  3. ^ 罗见今. 《垛积比类》内容分析. 内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版). 1982, (1) [2015-03-29]. (原始内容存档于2019-06-08). 
  4. ^ 金晶 杨婷娜 朱伟义. 等差数列前n项等幂和计算公式及算法实现. 渭南师范学院学报. 2012, (2) [2015-09-20]. (原始内容存档于2019-06-09). 
  5. ^ 陶家元. 高阶等差数列的前n项求和. 成都大学学报(自然科学版). 1999, (1) [2016-05-18]. (原始内容存档于2020-01-15). 
  6. ^ 黄婷 车茂林 彭杰 张莉. 自然数幂和通项公式证明的新方法. 内江师范学院学报. 2011, (8) [2014-03-30]. (原始内容存档于2020-02-12). 
  7. ^ 黄嘉威. 方幂和及其推广和式. 数学学习与研究. 2016, (7) [2016-05-17]. (原始内容存档于2020-01-15). 
  8. ^ 田达武. 朱世杰恒等式及其应用. 数学教学通讯. 2009, (36) [2014-05-24]. (原始内容存档于2020-01-15). 
  9. ^ 沈南山. 牛顿(Newton)公式的一个注记及其应用. 数学通报. 2005, (3) [2014-03-20]. (原始内容存档于2019-06-08).