克莱尼星号
Kleene 星号,或称Kleene 闭包,德语称 Kleensche Hülle,在数学上是一种适用于字符串或符号及字元的集合的一元运算。当 Kleene 星号被应用在一个集合时,写法是。它被广泛用于正则表达式。
定义及标记法
假定
递归的定义集合
- 这里的
如果 是一个形式语言,集合 的第 次幂是集合 同自身的 i 次串接的简写。就是说, 可以被理解为是从 中的符号形成的所有长度为 的字符串的集合。
所以在 上的 Kleene 星号的定义是 。就是说,它是从 中的符号生成的所有可能的有限长度的字符串的搜集。
例子
Kleene 星号应用于字符串集合的例子:
- {"ab", "c"}* = {ε, "ab", "c", "abab", "abc", "cab", "cc", "ababab", "ababc", "abcab", "abcc", "cabab", "cabc", "ccab", "ccc", ...}
Kleene 星号应用于字元集合的例子:
- {'a', 'b', 'c'}* = {ε, "a", "b", "c", "aa", "ab", "ac", "ba", "bb", "bc", ...}
推广
Kleene 星号经常推广到任何幺半群 (M, ),也就是,一个集合 M 和在 M 上的二元运算 有着
- (闭包)
- (结合律)
- (单位元)
如果 V 是 M 的子集,则 V* 被定义为包含 ε(空字符串)并闭合于这个运算下的 V 的最小超集。接着 V* 自身是幺半群,并被称为“V 生成的自由幺半群”。这是上面讨论的 Kleene 星号的推广,因为在某个符号的集合上所有字符串的集合形成了一个幺半群(带有字符串串接作为二元运算)。
参见
参考文献
The definition of Kleene star is found in virtually every textbook on automata theory. A standard reference is the following:
- 约翰·爱德华·霍普克洛夫特 and 杰弗里·乌尔曼. Introduction to Automata Theory Languages and Computation. 1st edition. Addison-Wesley Publishing Company, 1979.