概率公理

概率公理（英语：Probability axioms）是概率论的公理，任何事件发生的概率的定义均满足概率公理。因其提出者为安德烈·柯尔莫果洛夫，也被人们熟知为柯尔莫果洛夫公理（Kolmogorov axioms）。

某个事件 $E$ 的概率 $P(E)$ 是定义在“全体”（universe）或者所有可能基础事件的样本空间 $\Omega$ 时，概率 $P$ 必须满足以下柯尔莫果洛夫公理。

也可以说，概率可以被解释为定义在样本空间的子集的σ代数上的一个测度，那些子集为事件，使得所有集的测度为 $1$ 。这个性质很重要，因为这里提出条件概率的自然概念。对于每一个非零概率A都可以在空间上定义另外一个概率：

P(B\vert A)={P(B\cap A) \over P(A)}

这通常被读作“给定A时B的概率”。如果给定A时B的条件概率与B的概率相同，则A与B被称为是独立的。

当样本空间是有限或者可数无限时，概率函数也可以以基本事件 $\{e_{1}\},\{e_{2}\},...$ 定义它的值，这里 $\Omega =\{e_{1},e_{2},...\}$ 。

柯尔莫果洛夫公理

假设有一个基础集 $\Omega$ ，其子集的集合 ${\mathfrak {F}}$ 为σ代数，和一个给 ${\mathfrak {F}}$ 的元素指定一个实数的函数 $P$ 。 ${\mathfrak {F}}$ 的元素，称为“事件”。

对于任意一个集合

A\in {\mathfrak {F}}

，即对于任意的事件

P(A)\geq 0

。

即，任一事件的概率都可以用 $0$ 到 $1$ 区间上的一个实数来表示。

P(\Omega )=1

。

即，整体样本集合中的某个基本事件发生的概率为1。更加明确地说，在样本集合之外已经不存在基本事件了。

这在一些错误的概率计算中经常被小看；如果你不能准确地定义整个样本集合，那么任意子集的概率也不可能被定义。

任意两两不相交事件

E_{1},E_{2},...

的可数序列满足

P(E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots )=\sum P(E_{i})

。

即，不相交子集的并的事件集合的概率为那些子集的概率的和。这也被称为是σ可加性。如果存在子集间的重叠，这一关系不成立。

如想通过代数了解柯尔莫果洛夫的方法，请参照随机变量代数。

又发展成Boole不等式，证明时常使用此公式： ${\displaystyle P(\bigcup _{i}A_{i})\leq \sum _{i}P(A_{i})}$ 。

从柯尔莫果洛夫公理可以推导出另外一些对计算概率有用的法则。

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

，

P(\Omega -E)=1-P(E)

，

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\vert A)

，

这一关系给出了贝叶斯定理。以此可以得出A和B是独立的当且仅当

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

。