折纸公理

前6个公理又叫做藤田公理，公理7由羽鸟公士郎发现，贾斯汀和罗伯特·朗（Robert J. Lang）也同样发现了公理7。7条公理如下：

1. 给定两点 ${\displaystyle p_{1}}$  和 ${\displaystyle p_{2}}$ ，有且仅有一条折痕同时过这两点。
2. 给定两点 ${\displaystyle p_{1}}$  和 ${\displaystyle p_{2}}$ ，有且仅有一种方法把 ${\displaystyle p_{1}}$  折到 ${\displaystyle p_{2}}$  上。
3. 给定两直线 ${\displaystyle l_{1}}$  和 ${\displaystyle l_{2}}$ ，可以把 ${\displaystyle l_{1}}$  折到 ${\displaystyle l_{2}}$  上。
4. 给定一点 ${\displaystyle p_{1}}$  和一条直线 ${\displaystyle l_{1}}$ ，有且仅有一种方法过 ${\displaystyle p_{1}}$  折出 ${\displaystyle l_{1}}$  的垂线。
5. 给定两点 ${\displaystyle p_{1}}$  和 ${\displaystyle p_{2}}$  和一条直线 ${\displaystyle l_{1}}$ ，可以沿过 ${\displaystyle p_{2}}$  的直线将 ${\displaystyle p_{1}}$  折到 ${\displaystyle l_{1}}$  上。
6. 给定两点 ${\displaystyle p_{1}}$  和 ${\displaystyle p_{2}}$  和两直线 ${\displaystyle l_{1}}$  和 ${\displaystyle l_{2}}$ ，可以一次将 ${\displaystyle p_{1}}$  、${\displaystyle p_{2}}$  分别折到 ${\displaystyle l_{1}}$  、${\displaystyle l_{2}}$  上。
7. 给定一点 ${\displaystyle p}$  和两直线 ${\displaystyle l_{1}}$  和 ${\displaystyle l_{2}}$ ，可以沿着 ${\displaystyle l_{2}}$  的垂线将 ${\displaystyle p_{1}}$  折到 ${\displaystyle l_{1}}$  上。

公理5可能有最多2个解，公理6可能有最多3个解，而尺规作图的公理最多只有两个解。所以，折纸的作图能力要强于尺规作图。就是说，尺规作图相当于在解二次方程，而折纸几何相当于解三次方程。因而诸如三等分角、倍立方等尺规作图无法解决的问题却可以用折纸几何解决。但是公理6在实践中需要将纸“滑动”，这其实相当于二刻尺作图，这在标准的尺规作图中是不被允许的。

罗伯特·朗证明了这七个公理已经是折纸几何的全部公理了。

公理 1

给定两点 ${\displaystyle p_{1}}$  和 ${\displaystyle p_{2}}$ ，有且仅有一条折痕同时过这两点。

以参数方程表示的话，过2点的直线可以表示为：

${\displaystyle F(s)=p_{1}+s(p_{2}-p_{1}).}$ 

公理 2

给定两点 ${\displaystyle p_{1}}$  和 ${\displaystyle p_{2}}$ ，有且仅有一种方法把 ${\displaystyle p_{1}}$  折到 ${\displaystyle p_{2}}$  上。

这条公理相当于是作线段 ${\displaystyle {\overline {p_{1}p_{2}}}}$ 的垂直平分线。这可以通过以下四个步骤完成：

• 使用公理1作出连结 ${\displaystyle p_{1}}$  和 ${\displaystyle p_{2}}$  的直线 ${\displaystyle P(s)=p_{1}+s(p_{2}-p_{1})}$ 
• 找到直线 ${\displaystyle P(s)}$  的中点 ${\displaystyle p_{mid}}$ 
• 找到垂直于 ${\displaystyle P(s)}$  的向量 ${\displaystyle \mathbf {v_{perp}} }$ 
• 折痕的参数方程表示为：

${\displaystyle F(s)=p_{\mathrm {mid} }+s\cdot \mathbf {v} _{\mathrm {perp} }.}$ 

公理 3

给定两直线 ${\displaystyle l_{1}}$  和 ${\displaystyle l_{2}}$ ，可以把 ${\displaystyle l_{1}}$  折到 ${\displaystyle l_{2}}$  上。

这条公理相当于是找出 ${\displaystyle l_{1}}$  和 ${\displaystyle l_{2}}$  组成的角的平分线。假设 ${\displaystyle p_{1}}$  和 ${\displaystyle p_{2}}$  是 ${\displaystyle l_{1}}$  上任意两点，${\displaystyle q_{1}}$  和 ${\displaystyle q_{2}}$  是 ${\displaystyle l_{2}}$  上任意两点，${\displaystyle \mathbf {u} }$  和 ${\displaystyle \mathbf {v} }$  分别是 ${\displaystyle l_{1}}$  和 ${\displaystyle l_{2}}$  方向的单位向量：

${\displaystyle \mathbf {u} =(p_{2}-p_{1})/\left|(p_{2}-p_{1})\right|}$ 

${\displaystyle \mathbf {v} =(q_{2}-q_{1})/\left|(q_{2}-q_{1})\right|.}$ 

如果两直线不平行，它们的交点为：

${\displaystyle p_{\mathrm {int} }=p_{1}+s_{\mathrm {int} }\cdot \mathbf {u} }$ 

其中

${\displaystyle s_{int}=-{\frac {\mathbf {v} _{\perp }\cdot (p_{1}-q_{1})}{\mathbf {v} _{\perp }\cdot \mathbf {u} }}.}$ 

两条直线所夹的一个角的平分线方向是：

${\displaystyle \mathbf {w} ={\frac {\left|\mathbf {u} \right|\mathbf {v} +\left|\mathbf {v} \right|\mathbf {u} }{\left|\mathbf {u} \right|+\left|\mathbf {v} \right|}}.}$ 

折痕的参数方程是：

${\displaystyle F(s)=p_{\mathrm {int} }+s\cdot \mathbf {w} .}$ 

这两直线还有另一个角平分线，两条角平分线互相垂直，且都过点 ${\displaystyle p_{int}}$ 。而沿着任意一条角平分线折都能将 ${\displaystyle l_{1}}$  折到 ${\displaystyle l_{2}}$  上。但在实践中可能因为交点的位置（比如交点在纸外）使沿着其中一条角平分线的折叠无法实施。

如果两条直线平行，那么只要沿着两直线中间的一条线（与两直线平行，到两直线距离相等）折叠就可以将 ${\displaystyle l_{1}}$  折到 ${\displaystyle l_{2}}$  上

公理 4

给定一点 ${\displaystyle p_{1}}$  和一条直线 ${\displaystyle l_{1}}$ ，有且仅有一种方法过 ${\displaystyle p_{1}}$  折出 ${\displaystyle l_{1}}$  的垂线。

向量 ${\displaystyle \mathbf {v} }$  是垂直于 ${\displaystyle l_{1}}$  的单位向量，那么折痕的参数方程是：

${\displaystyle F(s)=p_{1}+s\cdot \mathbf {v} .}$ 

公理 5

给定两点 ${\displaystyle p_{1}}$  和 ${\displaystyle p_{2}}$  和一条直线 ${\displaystyle l_{1}}$ ，可以沿过 ${\displaystyle p_{2}}$  的直线将 ${\displaystyle p_{1}}$  折到 ${\displaystyle l_{1}}$  上。

这个公理相当于找出圆和直线的交点，所以有最多2个解，最少也可能无解。这取决于直线 ${\displaystyle l_{1}}$  和以${\displaystyle p_{2}}$  为圆心，${\displaystyle p_{2}}$  到 ${\displaystyle p_{1}}$  的距离为半径的圆的位置关系。如果直线和圆不相交则无解，相切则有1解，相交则有2解.

如果我们知道直线上两点 ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$  和 ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ ，那么直线可以表示为：

${\displaystyle x=x_{1}+s(x_{2}-x_{1})\,}$ 

${\displaystyle y=y_{1}+s(y_{2}-y_{1}).\,}$ 

如果圆心 ${\displaystyle p_{2}=(x_{c},y_{c})}$ ，半径 ${\displaystyle r=\left|p_{1}-p_{2}\right|}$ 。那么这个圆可以表示为：

${\displaystyle (x-x_{c})^{2}+(y-y_{c})^{2}=r^{2}.\,}$ 

为了确定圆和直线的交点，将直线方程代入圆方程，得：

${\displaystyle (x_{1}+s(x_{2}-x_{1})-x_{c})^{2}+(y_{1}+s(y_{2}-y_{1})-y_{c})^{2}=r^{2}.\,}$ 

或者可以简化为：

${\displaystyle as^{2}+bs+c=0\,}$ 

其中：

${\displaystyle a=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}\,}$ 

${\displaystyle b=2(x_{2}-x_{1})(x_{1}-x_{c})+2(y_{2}-y_{1})(y_{1}-y_{c})\,}$ 

${\displaystyle c=x_{c}^{2}+y_{c}^{2}+x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-2(x_{c}x_{1}+y_{c}y_{1})-r^{2}.\,}$ 

然后，只要解以下方程就能确定直线和圆的交点：

${\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$ 

如果判别式 ${\displaystyle b^{2}-4ac<0}$ ，那么方程无实数解，圆和直线没有交点；如果辨别式等于0，那么方程有一解，圆和直线相切；如果辨别式大于0，方程有两解，圆和直线有两个交点。令${\displaystyle d_{1}}$  和 ${\displaystyle d_{2}}$  是两个交点（如果存在），那么，我们可以得到线段如下：

${\displaystyle m_{1}={\overline {p_{1}d_{1}}}\,}$ 

${\displaystyle m_{2}={\overline {p_{1}d_{2}}}.\,}$ 

折痕 ${\displaystyle F_{1}(s)}$  垂直平分 ${\displaystyle m_{1}}$ ，可以将 ${\displaystyle p_{1}}$  折到 ${\displaystyle d_{1}}$ 。同样，折痕 ${\displaystyle F_{2}(s)}$  垂直平分 ${\displaystyle m_{2}}$ ，可以将 ${\displaystyle p_{1}}$  折到 ${\displaystyle d_{2}}$ 。只要应用公理2就可以找到垂直平分线。折痕的参数方程是：

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(s)&=p_{1}+{\frac {1}{2}}(d_{1}-p_{1})+s(d_{1}-p_{1})_{\perp }\\[8pt]F_{2}(s)&=p_{1}+{\frac {1}{2}}(d_{2}-p_{1})+s(d_{2}-p_{1})_{\perp }.\end{aligned}}}$ 

公理 6

给定两点 ${\displaystyle p_{1}}$  和 ${\displaystyle p_{2}}$  和两直线 ${\displaystyle l_{1}}$  和 ${\displaystyle l_{2}}$ ，可以一次将 ${\displaystyle p_{1}}$  、${\displaystyle p_{2}}$  分别折到 ${\displaystyle l_{1}}$  、${\displaystyle l_{2}}$  上。

这个公理相当于找到同时与两条抛物线相切的直线，等价于解一个三次方程。两条抛物线的焦点分别是 ${\displaystyle p_{1}}$  和 ${\displaystyle p_{2}}$ ，准线分别是 ${\displaystyle l_{1}}$  和 ${\displaystyle l_{2}}$ 。

公理 7

给定一点 ${\displaystyle p}$  和两直线 ${\displaystyle l_{1}}$  和 ${\displaystyle l_{2}}$ ，可以沿着 ${\displaystyle l_{2}}$  的垂线将 ${\displaystyle p_{1}}$  折到 ${\displaystyle l_{1}}$  上。

过 ${\displaystyle p}$  点作 ${\displaystyle l_{2}}$  的平行线，交 ${\displaystyle l_{1}}$  于 ${\displaystyle q}$ ，这个公理就是要找出线段 ${\displaystyle {\overline {pq}}}$  的垂直平分线。沿着这条垂直平分线折，就可以将 ${\displaystyle p}$  折到 ${\displaystyle q}$  上。

1. ^ Justin, Jacques, "Resolution par le pliage de l'equation du troisieme degre et applications geometriques", reprinted in Proceedings of the First International Meeting of Origami Science and Technology, H. Huzita ed. (1989), pp. 251–261.
2. ^ Humiaki Huzita, “Understanding Geometry through Origami Axioms”, The First International Conference on Origami in Education and Therapy (COET91) (1991)

• Origami Geometric Constructions^{[永久失效链接]} by Thomas Hull
• A Mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Roger C. Alperin
• Lang, Robert J. Origami and Geometric Constructions (PDF). Robert J. Lang. 2003 [2007-04-12]. （原始内容存档于2012-03-10）.