黑林格-特普利茨定理是数学泛函分析的定理,以德国数学家恩斯特·黑林格和奥托·特普利茨命名。
叙述
设 为希尔伯特空间, 是处处定义的对称线性算子,即对任意 都有等式
- 。
那么, 有界(因此也是连续)。
证明
从闭图像定理可知,只需证明:如果序列 趋于0, ,那么 。因为内积在 上连续,故得
-
所以 。
推论
- 任何对称且在 上处处定义的算子是自伴算子。
- 无界自伴算子最多只能定义在希尔伯特空间的一个稠密子集上。
物理结果
这定理带出了量子力学的数学基础的一些技术难题。量子力学中的可观察量对应到某个希尔伯特空间上的自伴算符,但一些可观察量(如能量)的算符是无界的。这定理说这些算符不能处处定义,只能定义在稠密子集上。
以量子谐振子为例。这时希尔伯特空间是 ,即 上平方可积函数空间,能量算符 定义为(设其单位选取使得 )
-
这算符是自伴无界的(其特征值为1/2, 3/2, 5/2, ...),所以不能在整个 上定义。
参考
- Dirk Werner: Funktionalanalysis (Springer, 5. Auflage 2005)