闭图像定理

设${\displaystyle X}$ ，${\displaystyle Y}$ 为巴拿赫空间，${\displaystyle T:X\to Y}$ 为线性算子。定义${\displaystyle T}$ 的图像为${\displaystyle X\times Y}$ 的子空间

${\displaystyle \Gamma (T)=\{(x,T(x))\in X\times Y\vert x\in X\}}$ 。

赋予${\displaystyle X\times Y}$ 范数${\displaystyle \|(x,y)\|_{X\times Y}=\|x\|_{X}+\|y\|_{Y}}$ ，使得${\displaystyle X\times Y}$ 成为巴拿赫空间。那么，这定理指${\displaystyle T}$ 是连续的（与有界等价）当且仅当${\displaystyle \Gamma (T)}$ 在${\displaystyle X\times Y}$ 内是闭集。

闭图像定理可以从开映射定理推导出来。

${\displaystyle \Gamma (T)}$ 是闭集的充分必要条件是如果序列${\displaystyle \{(x_{n},y_{n})\}_{n}\subset \Gamma (T)}$ （即对任意${\displaystyle n}$ 有${\displaystyle y_{n}=T(x_{n})}$ ），而${\displaystyle (x_{n},y_{n})\to (x,y)}$ ，那么${\displaystyle (x,y)\in \Gamma (T)}$ ，${\displaystyle y=T(x)}$ 。如果${\displaystyle T}$ 是连续的，从连续性立刻可知${\displaystyle \Gamma (T)}$ 是闭集，因为连续性是更强的条件：如果${\displaystyle x_{n}\to x}$ ，则${\displaystyle T(x_{n})\to T(x)}$ 。

如果${\displaystyle \Gamma (T)}$ 是闭集，可以在${\displaystyle \Gamma (T)}$ 定义线性算子

${\displaystyle \pi _{1}:\Gamma (T)\to X,\ (x,y)\mapsto x}$ ，

${\displaystyle \pi _{2}:\Gamma (T)\to Y,\ (x,y)\mapsto y}$ 。

显然${\displaystyle \|\pi _{2}(x,y)\|_{Y}=\|y\|_{Y}\leq \|(x,y)\|_{X\times Y}}$ ，因此${\displaystyle \pi _{2}}$ 是有界算子。

${\displaystyle \Gamma (T)}$ 是巴拿赫空间${\displaystyle X\times Y}$ 中的闭子空间，所以${\displaystyle \Gamma (T)}$ 是巴拿赫空间。${\displaystyle X}$ 也是巴拿赫空间，${\displaystyle \pi _{1}}$ 是双射，从而由开映射定理的系可知，其逆${\displaystyle \pi _{1}^{-1}:X\to \Gamma (T)}$ 为有界算子。

因为${\displaystyle T=\pi _{2}\circ \pi _{1}^{-1}}$ ，故${\displaystyle T}$ 也是有界的。

从这定理可得出黑林格-特普利茨定理──希尔伯特空间上处处定义的对称线性算子是有界的。