设 , 为巴拿赫空间, 为线性算子。定义 的图像为 的子空间
- 。
赋予 范数 ,使得 成为巴拿赫空间。那么,这定理指 是连续的(与有界等价)当且仅当 在 内是闭集。
闭图像定理可以从开映射定理推导出来。
是闭集的充分必要条件是如果序列 (即对任意 有 ),而 ,那么 , 。如果 是连续的,从连续性立刻可知 是闭集,因为连续性是更强的条件:如果 ,则 。
如果 是闭集,可以在 定义线性算子
- ,
- 。
显然 ,因此 是有界算子。
是巴拿赫空间 中的闭子空间,所以 是巴拿赫空间。 也是巴拿赫空间, 是双射,从而由开映射定理的系可知,其逆 为有界算子。
因为 ,故 也是有界的。