闭图像定理

闭图像定理数学泛函分析的一条定理。

叙述

  巴拿赫空间 线性算子。定义 图像 的子空间

 

赋予 范数 ,使得 成为巴拿赫空间。那么,这定理指 连续的(与有界等价)当且仅当  内是闭集。

证明

闭图像定理可以从开映射定理推导出来。

 是闭集的充分必要条件是如果序列 (即对任意  ),而 ,那么  。如果 是连续的,从连续性立刻可知 是闭集,因为连续性是更强的条件:如果 ,则 

如果 是闭集,可以在 定义线性算子

 
 

显然 ,因此 是有界算子。

 是巴拿赫空间 中的闭子空间,所以 是巴拿赫空间。 也是巴拿赫空间, 双射,从而由开映射定理的系可知,其逆 为有界算子。

因为 ,故 也是有界的。

推论

从这定理可得出黑林格-特普利茨定理──希尔伯特空间上处处定义的对称线性算子是有界的。

泛函分析中的定理

阿尔泽拉-阿斯科利定理贝尔纲定理巴拿赫-阿劳格鲁定理巴拿赫-马祖尔定理开映射定理一致有界性原理闭图像定理哈恩-巴拿赫定理拉克斯-米尔格拉姆定理