开世定理的背景是圆的内切圆。设有半径为 的一个圆 ,圆内又有四个圆 内切于圆 (如右图)。如果将圆 的外公切线的长度设为 ,那么开世定理声称,有下列等式成立。
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可以注意到,如果四个内切的圆都退化成点的话,就会变成圆 上的四个点,而开世定理中的等式也会化为托勒密定理。
设大圆的圆心是点 ;四个圆的圆心分别是点 ,半径分别是 。每个圆与大圆 的切点分别是 。
首先,根据勾股定理可以推出:对于任意的i 和j,都有
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接下来的思路是将这个公式右边的各个长度用 来表示。
考虑三角形 ,根据三角形的余弦定理:
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由于每个圆 都和大圆相切,所以:
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设点 为大圆 上的任意一点,根据三角形的正弦定理,在三角形 之中,有:
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所以,余弦式
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将以上 与 代入式子 中,就可以得到:
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再代入式子 中,就得到 的表达式:
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以上等式对所有的i 和j 都成立,因此只要注意到四边形 是圆内接四边形,那么对其应用应用托勒密定理就可以得到开世定理:
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证明完毕。
可以用类似的方法证明,只要当圆 与大圆 相切(不论是外切还是内切),就会有类似开世定理的等式成立。这是需要注明,对任意的i 和j:
- 如果圆 是与大圆 以同样的方式相切(都是外切或者都是内切)的话,则 表示两个圆的外公切线的长度;
- 如果圆 是与大圆 以不同的方式相切(一个是外切而另一个是内切)的话,则 表示两个圆的内公切线的长度。
另一个特点是:这定理的逆定理也成立。也就是说,如果开世定理的等式成立,那么这些圆必定以规定的方式与大圆相切。[1]