施瓦茨-克里斯托费尔映射

考虑复平面上一个多边形。黎曼映射定理指出存在一个一一对应解析映射f从上半平面

${\displaystyle \{\zeta \in \mathbb {C} :\operatorname {Im} \,\zeta >0\}}$ 

到多边形的内部。函数f把实数轴映射到多边形的边。若多边形内角为${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,...}$ ，那么映射由下式给出：

${\displaystyle f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {K}{(w-a)^{1-(\alpha /\pi )}(w-b)^{1-(\beta /\pi )}(w-c)^{1-(\gamma /\pi )}\cdots }}\,{\mbox{d}}w}$ ，

其中${\displaystyle K}$ 是常数，${\displaystyle a<b<c<...}$ 是${\displaystyle \zeta }$ 平面的实轴上的点的值，对应${\displaystyle z}$ 平面上的多边形的顶点。这形式的变换称为施瓦茨—克里斯托费尔映射。

为了简便，通常会考虑一种特殊情况，就是当${\displaystyle \zeta }$ 平面的无穷远点映射到${\displaystyle z}$ 平面的多边形其中一顶点（习惯是内角为${\displaystyle \alpha }$ 的顶点）。如此，公式的第一个因式实际上是个常数，可以合并进${\displaystyle K}$ 里。

考虑${\displaystyle z}$ 平面中的半无穷带。这可以视作顶点是${\displaystyle P=0}$ , ${\displaystyle Q=\pi i}$ 和${\displaystyle R}$ 的三角形，当${\displaystyle R}$ 趋向无穷大的极限情形。极限时有${\displaystyle \alpha =0}$ 和${\displaystyle \beta =\gamma =\pi /2}$ 。假设我们要找映射f，有f(−1) = Q，f(1) = P，和f(∞) = R，那么f是

${\displaystyle f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {K}{(w-1)^{1/2}(w+1)^{1/2}}}\,{\mbox{d}}w\,}$ 。

计算积分得到

${\displaystyle z=f(\zeta )=C+K\operatorname {arccosh} \,\zeta ,}$ 

其中${\displaystyle C}$ 是个（复）积分常数。条件${\displaystyle f(-1)=Q}$ 和${\displaystyle f(1)=P}$ 给出${\displaystyle C=0}$ 和${\displaystyle K=1}$ 。因此施瓦茨—克里斯托费尔积分是${\displaystyle z=\operatorname {arccosh} \,\zeta }$ 。下图描绘这个映射。

三角形

到内角为${\displaystyle \pi a}$ ，${\displaystyle \pi b}$ 和${\displaystyle \pi (1-a-b)}$ 的三角形的映射是

${\displaystyle z=f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {dw}{(w-1)^{1-a}(w+1)^{1-b}}}}$ 。

正方形

从上半平面到正方形的映射是

${\displaystyle z=f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {{\mbox{d}}w}{\sqrt {w(w^{2}-1)}}}={\sqrt {2}}\,F\left({\sqrt {\zeta +1}};{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)}$ ，

其中${\displaystyle F\,}$ 是第一类不完全椭圆积分。

广义三角形

施瓦茨三角形映射把上半平面映射到其边是圆弧的三角形。

• 在施瓦茨—克里斯托费尔理论中出现的施瓦茨导数。

• Tobin A. Driscoll and Lloyd N. Trefethen, Schwarz-Christoffel Mapping, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-80726-3.

• Z. Nehari, Conformal Mapping, (1952) McGraw-Hill, New York.

• Darren Crowdy，[1]Schwarz-Christoffel mappings to unbounded multiply connected polygonal regions，Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (2007)，142, 319.