Verma模

设：

• ${\displaystyle F}$ 为一域；
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ，为${\displaystyle F}$ 上一半单李代数；
  • ${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}$ 为其泛包络代数
  • ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ 为其一Borel子代数
    • ${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})}$ 为其泛包络代数
  • ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ 为其一嘉当子代数
• ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ 为一固定之权。
• ${\displaystyle F_{\lambda }}$ 为${\displaystyle F}$ 上的一维向量空间， 赋与${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ -模结构：${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ 的作用为“乘以${\displaystyle \lambda }$ ”，正根的作用为零。由于${\displaystyle F_{\lambda }}$ 是一左${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ －模，他同时亦是一左${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})}$ －模。
• 由Poincaré-Birkhoff-Witt定理，${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}$ 有一自然右${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})}$ －模结构。由于${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}$ 亦是一左${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ －模， 所以是${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathcal {U}}({\mathfrak {b}}))}$ -双模。
• 定义（最高权为${\displaystyle \lambda }$ 之）Verma模 为

${\displaystyle M_{\lambda }={\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})\otimes _{{\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})}F_{\lambda }}$ 

此自然地是一左${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ －模。从Poincaré-Birkhoff-Witt定理可知：${\displaystyle M_{\lambda }}$ ，作为一向量空间，同构于

${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}}_{-})\otimes _{F}F_{\lambda }}$ 

其中${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-}}$ 为${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 之负根生成之子李代数。

作为${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ －模，Verma模是一最高权表示，即整个模由一最高权向量生成。此最高权向量是${\displaystyle 1\otimes 1}$ 的像（其中前${\displaystyle 1}$ 为${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}$ 之单位，后${\displaystyle 1}$ 为域${\displaystyle F}$ 之单位元）；其权为${\displaystyle \lambda }$ 。

Verma模是weight modules，即${\displaystyle M_{\lambda }}$ 是其权子空间之直和。每一权子空间${\displaystyle M_{\mu }}$ 是有限维的，其维度是${\displaystyle M_{\mu }}$ 权${\displaystyle \lambda -\mu }$ 写成正根之和之方法之数（参见Kostant partition function）。

Verma模有一重要性质：若${\displaystyle V}$ 为任一最高权模，其最高权为${\displaystyle \lambda }$ ，则存在一${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  满射：${\displaystyle M_{\lambda }\to V}$ 。换言之，任何最高权模都是${\displaystyle M_{\lambda }}$ 的商模。

${\displaystyle M_{\lambda }}$ 内存在唯一极大子模，而${\displaystyle M_{\lambda }}$ 与此子模之商是不可约的。

Verma模${\displaystyle M_{\lambda }}$ 本身不可约 若且仅若 当其最高权${\displaystyle \lambda }$ 分解成基本权（fundamental weight（英语：fundamental weight））之和时，每一系数都不是${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}$ 。

称Verma模${\displaystyle M_{\lambda }}$ 为regular，若其最高权λ位于一支配权${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$ 之仿射Weyl轨迹上。换言之，存在Weyl群的元素w，使

${\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}}$ ，

其中${\displaystyle \cdot }$ 是Weyl群的仿射作用。

称Verma模${\displaystyle M_{\lambda }}$ 为singular，若λ的仿射轨迹上无支配权。此时，存在权${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$ 使${\displaystyle {\tilde {\lambda }}+\delta }$ 落于基本Weyl室之墙上；（其 中δ为各基本权之和）。

设${\displaystyle \lambda ,\mu }$ 为两权。若存在态射

${\displaystyle M_{\mu }\rightarrow M_{\lambda }}$ ，

则${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 的Weyl群${\displaystyle W}$ 的 仿射作用${\displaystyle W}$ 必然能把${\displaystyle \mu }$ 带到${\displaystyle \lambda }$ 。此为Harish-Chandra无限小中心特征标定理之一推论。

每一Verma模 态射都是单射。态射空间之维度

${\displaystyle dim(Hom(M_{\mu },M_{\lambda }))\leq 1}$ 

其中${\displaystyle \mu ,\lambda }$ 为任何两权。因此，存在一非零态射${\displaystyle M_{\mu }\rightarrow M_{\lambda }}$ 若且仅若${\displaystyle M_{\mu }}$  同构于${\displaystyle M_{\lambda }}$ 的一（唯一）子模。

Verma模态射的完整分类来自I.N.伯恩斯坦、I.M.盖尔芳特 与S.I.盖尔芳特 的工作^[1]与N. Verma的工作^[2]。简言之，

存在非零态射

${\displaystyle M_{\mu }\rightarrow M_{\lambda }}$ 若且仅若 存在一串权

${\displaystyle \mu =\nu _{0}\leq \nu _{1}\leq \ldots \leq \nu _{k}=\lambda }$ 

使得存在正根${\displaystyle \gamma _{i}}$ 使${\displaystyle \nu _{i-1}+\delta =s_{\gamma _{i}}(\nu _{i}+\delta )}$ （其中${\displaystyle s_{\gamma _{i}}}$ 是根反映（根系），而${\displaystyle \delta }$ 是所有基本权之和）且对每一${\displaystyle 1\leq i\leq k}$ ，${\displaystyle (\nu _{i}+\delta )(H_{\gamma _{i}})}$ 为一自然数（其中${\displaystyle H_{\gamma _{i}}}$ 是根${\displaystyle \gamma _{i}}$ 之对偶根（coroot（英语：coroot）））。

若Verma模${\displaystyle M_{\mu }}$ 与${\displaystyle M_{\lambda }}$ 俱为regular，则仅存支配权${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$ 与Weyl群元w, w′使

P${\displaystyle \mu =w'\cdot {\tilde {\lambda }}}$ 

而且

${\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }},}$ 

其中${\displaystyle \cdot }$ 为Weyl群的仿射作用。设此等权是整权（integral weight（英语：integral weight））。存在非零态射

${\displaystyle M_{\mu }\to M_{\lambda }}$ 

若且仅若，在Weyl群W 的Bruhat次序中，

${\displaystyle w\leq w'}$ 。

设

${\displaystyle 0\subset A\subset B\subset M_{\lambda }}$ 

为一${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ －模序列，其中B/A为不可约表示，其最高权为μ。则存在非零态射${\displaystyle M_{\mu }\to M_{\lambda }}$ 。

推论： 设${\displaystyle V_{\mu },V_{\lambda }}$ 为二最高权表示。若

${\displaystyle V_{\mu }\subset V_{\lambda }}$ 

则存在非零态射${\displaystyle M_{\mu }\to M_{\lambda }}$ 。

设${\displaystyle V_{\lambda }}$ 为李代数${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 的一有限维不可约表示，其最高权为λ。我们已知：存在非零态射

${\displaystyle M_{w'\cdot \lambda }\to M_{w\cdot \lambda }}$ 

若且仅若，在其Weyl群的Bruhat次序中，

${\displaystyle w\leq w'}$ 。

以下定理描述如何分解${\displaystyle V_{\lambda }}$ 成Verma模的正合序列。 （此定理出现于 伯恩斯坦-盖尔芳特-盖尔芳特1975年的论文^[3]）:

存在由${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ －态射组成的正合序列

${\displaystyle 0\to \oplus _{w\in W,\,\,l(w)=n}M_{w\cdot \lambda }\to \ldots \to \oplus _{w\in W,\,\,l(w)=2}M_{w\cdot \lambda }\to \oplus _{w\in W,\,\,l(w)=1}M_{w\cdot \lambda }\to M_{\lambda }\to V_{\lambda }\to 0}$ 

其中n为Weyl群最长元之长度。

一般研究员简称其为“BGG分解”。 广义Verma模亦有类似分解。

近来有人研究此等分解之某些特例，以助理解抛物几何（parabolic geometries（英语：parabolic geometries），嘉当几何之特例）上之不变微分算子。嘉当几何的定义依赖于一李群G与其抛物子群P。参阅^[4]、^[5]与^[6]。

• Knapp, A. W. Lie Groups Beyond an troduction. Second Edition. (2002), page 285.
• Dixmier, J., Enveloping Algebras, North-Holland, Amsterdam, New York, Oxford, 1977
• Humphreys J., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer Verlag, 1980
• Roggenkamp K., Stefanescu M., Algebra - Representation Theory, Springer, 2002

注解

1. ^ Bernstein I.N., Gelfand I.M., Gelfand S.I., Structure of Representations that are generated by vectors of highest weight, Functional. Anal. Appl. 5 (1971)
2. ^ Verma N., Structure of certain induced representations of complex semisimple Lie algebras}, Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968)
3. ^ Bernstein I.N., Gelfand I.M., Gelfand S.I., Differential Operators on the Base Affine Space and a Study of g-Modules, Lie Groups and Their Representations, I. M. Gelfand, Ed., Adam Hilger, London, 1975.}
4. ^ Eastwood M., Variations on the de Rham complex, Notices Amer. Math. Soc, 1999 - ams.org
5. ^ Calderbank D.M., Diemer T., Differential invariants and curved Bernstein-Gelfand-Gelfand sequences, Arxiv preprint math.DG/0001158, 2000 - arxiv.org
6. ^ Cap A., Slovak J., Soucek V., Bernstein-Gelfand-Gelfand sequences, Arxiv preprint math.DG/0001164, 2000 - arxiv.org

• 李代数表示论
• 泛包络代数
• 广义Verma模
• 最高权表示

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