映射锥

给定映射 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ，映射锥 ${\displaystyle C_{f}}$  定义为 ${\displaystyle (X\times I)\sqcup Y}$  关于等价关系 ${\displaystyle (x,0)\sim (x',0)\,}$ , ${\displaystyle (x,1)\sim f(x)\,}$  的商拓扑空间。这里 ${\displaystyle I}$  表示带标准拓扑的单位区间 [0,1]。注意有些人（比如乔·彼得·梅）使用相反的约定，交换 0 与 1 的地位。

以圆周为例

如果 ${\displaystyle X}$  是圆周 S¹，C_f 可以视为 Y 与圆盘 D² 的不交并将 D² 的边界上的点 x 与 Y 中的点 f(x) 等价起来得到的商空间。

比如考虑当 Y 是圆盘 D² 的情形，映射

f: S¹ → Y = D²

是 S¹ 作为 D² 边界的标准包含。则映射锥 C_f 同胚于把两个圆盘连接起来，拓扑上就是球面 S² 也是通常的带底圆锥面。

双映射柱

映射锥是双映射柱的特例。双映射柱是一个圆柱的一个底与空间 X₁ 通过映射

f₁: S¹ → X₁

黏贴，而另一个底与空间 X₂ 通过映射

f₂: S¹ → X₂.

黏贴。映射锥是双映射锥（也称为拓扑推出）的退化情形，其中一个空间是一个单点。

CW-复形

CW-复形经常通过映射锥添加一个胞腔。

对基本群的影响

给定空间 X 与环路

${\displaystyle \alpha \colon S^{1}\to X}$ 

代表了 X 的基本群中的一个元素，我们可构造一个映射锥 C_α。其效果是使得环路 α 在 C_α 中可缩，从而 α 在 C_α 的基本群中的等价类是单位元素。

给一个有生成子与关系呈示的群，我们得到了一个具有那个基本群的 2-复形。

空间偶的同调

映射锥将空间偶的同调变成商空间的简约同调：

如果 E 是一个同调理论，${\displaystyle i\colon A\to X}$  是一个包含，则 ${\displaystyle E_{*}(X,A)=E_{*}(X/A,*)={\tilde {E}}_{*}(X/A)}$ ，对映射锥使用切除定理可得到^[1]。

• 映射锥 (同调代数)（英语：Mapping cone (homological algebra)）

1. ^ Peter May "A Concise Course in Algebraic Topology", section 14.2 (PDF). [2008-12-05]. （原始内容存档 (PDF)于2020-11-09）.