纽结多项式
在纽结理论中,扭结多项式指的是一类以多项式表达的纽结不变量(knot invariant),而此类多项式的系数则表示它所代表的纽结的一些性质。
历史
第一个已知的纽结多项式,也就是所谓的亚历山大多项式,是由詹姆斯·韦德尔·亚历山大在1923年引进的,但其他的纽结多项式却一直都没找到,直到近六十年后。
在1960年代,约翰·何顿·康威找出了一个对于亚历山大多项式的某版本的纠结关系(skein relation),这又被称为所谓的康威─亚历山大多项式。纠结关系的重要性直到1980年代前期沃恩‧锺斯发现锺斯多项式前都未被理解。这导致了更多纽结多项式的发现,如所谓的HOMFLY多项式。
锺斯发现该多项式不久后,路易‧考夫曼(Louis Kauffman)便注意到说锺斯多项式可借由配分函数(即泛函积分或状态和模型、state-sum model)来计算,这牵涉到所谓的括号多项式,该多项式为框多项式(framed knot)的一个不变量。这开启了连结纽结理论和统计力学间关系的研究。
在1980年代晚期,这方面有两个重要的突破。爱德华·威滕指出了锺斯多项式及相似的锺斯式不变量,有个以陈─西蒙斯理论(陈-西蒙斯理论)进行解释的方法。维克托‧瓦西里耶夫(Viktor Vassiliev)和米哈伊尔‧高萨罗夫(Mikhail Goussarov)则开始了纽结的有限类不变量(finite type invariant)的理论。
近年来,亚历山大多项式已被证明与弗洛尔同调(Floer homology)相关。
陈-西蒙斯理论
三维的陈-西蒙斯理论生成很多重要的纽结多项式和纽结不变量:[1]
陈西规范群G | 纽结多项式或不变量 |
---|---|
SO(N) | 考夫曼多项式 |
SU(N) | HOMFLY多项式 |
SU(2)或SO(3) | 锺斯多项式(跟括号多项式有关) |
U(1) | 环绕数 |
相关书目
- Colin Adams, The Knot Book, American Mathematical Society, W. B. R. Lickorish, An introduction to knot theory. Graduate Texts in Mathematics, 175. Springer-Verlag, New York, 1997. 编辑
特定的纽结多项式
相关主题
- 纠结关系(skein relation)
参考文献
- ^ Witten, Edward. Quantum field theory and the Jones polynomial. Communications in Mathematical Physics. 1989-09, 121 (3): 351–399. ISSN 0010-3616. doi:10.1007/BF01217730 (英语).