琼斯多项式

假设给定一个有向纽结或有向环 ${\displaystyle L}$  以及它的投影图，那么我们可以通过考夫曼（英语：Kauffman）的尖括号多项式${\displaystyle \langle L\rangle }$  来定义琼斯多项式 ${\displaystyle V(L)}$  。这里的尖括号多项式是一个以 ${\displaystyle A}$  为变量的系数全为整数的洛朗多项式（英语：Laurent polynomial）。

首先我们先建立一个辅助多项式（英语：auxiliary polynomial）^{[注 1]}

${\displaystyle X(L)=(-A^{3})^{-w(L)}\langle L\rangle }$ ,

公式中的 ${\displaystyle w(L)}$  是这个投影图的拧数。一个投影图的拧数是正交叉数量（下图中的 ${\displaystyle L_{+}}$  ）减去负交叉数量（${\displaystyle L_{-}}$ ）得到的数值。拧数不是一个纽结不变量。

辅助多项式 ${\displaystyle X(L)}$  是一个纽结不变量，因为即使对 ${\displaystyle L}$  进行三种Reidemeister变换，也不会改变它的多项式 ${\displaystyle X(L)}$  。尖括号多项式在II型Reidemeister变换和III型Reidemeister变换下保持不变，但I型Reidemeister变换会导致尖括号多项式被乘上 ${\displaystyle -A^{\pm 3}}$  。以上的 ${\displaystyle X(L)}$  定义式就是为了抵消I型Reidemeister变换对尖括号多项式的影响，因为I型Reidemeister变换也会使拧数增加1或减少1。

现在对多项式 ${\displaystyle X(L)}$  进行变量替换 ${\displaystyle A=t^{-1/4}}$  ，就得到了琼斯多项式 ${\displaystyle V(L)}$ 。

对于一个平凡结^{[注 2]}的任何投影图，它的琼斯多项式都为常数1。琼斯多项式还满足以下的纽结关系：

${\displaystyle (t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_0)=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})}${\displaystyle (t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})\,}  

上式的 ${\displaystyle L_{+}}$ ，${\displaystyle L_{-}}$ ，和 ${\displaystyle L_{0}}$  是三个有向环的投影图，他们唯一的区别只在于一个相交点，如下图所示：

琼斯多项式还有一个著名的特征：一个交错纽结（英语：alternating knot）的琼斯多项式是一个交错多项式（英语：alternating polynomial）。数学家Morwen Thistlethwaite（英语：Morwen Thistlethwaite）在1987年证明了这个特征^[3]。数学家Hernando Burgos-Soto（英语：Hernando Burgos-Soto）也给出了另一种证明，并把这个特征推广到了缠绕（英语：Tangle (mathematics)）（英语：tangle）上^[4]。

根据爱德华·威滕的证明，若我们有三维球面${\displaystyle S^{3}}$ 和规范群SU(2)的陈-西蒙斯理论：

• F是SU(2)的基本表示（参看：https://en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_SU(2) （页面存档备份，存于互联网档案馆）），
• C是纽结

威尔森循环${\displaystyle W_{F}(C)}$ 的真空期望值等于C的琼斯多项式。

这是环绕数的推广。^[5]

• 统计力学的玻茨模型^[6][7]
• 亚历山大定理（英语：Alexander's Theorem）

• HOMFLY多项式
• 亚历山大多项式