黑塞二十七面体
在几何学中,黑塞二十七面体(Hessian polyhedron)是一个复正多面体,其位于复希尔伯特空间中由27个莫比乌斯-坎特八边形组成[1],共有27个面、72条三元边[注 1]和27个顶点,是一个自身对偶的多面体[注 2][2],其可以视为实数空间的四面体在复数空间中的类比[3]。
投影到实二维空间的平行投影 | |
类别 | 复正多面体 |
---|---|
对偶多面体 | 黑塞二十七面体(自身对偶) |
数学表示法 | |
考克斯特符号 | |
施莱夫利符号 | 3{3}3{3}3 |
性质 | |
面 | 27个3{3}3 |
边 | 72条3{} |
顶点 | 27 |
欧拉特征数 | F=27, E=72, V=27 (χ=-18) |
特殊面或截面 | |
皮特里多边形 | 十二边形 |
梵奥斯截面 | 12个3{4}2 |
组成与布局 | |
面的种类 | 莫比乌斯-坎特八边形 |
顶点图 | 3{3}3 |
边的种类 | 三元棱 |
布局矩阵 | |
对称性 | |
谢泼德群 | L3 = 3[3]3[3]3, order 648 |
特性 | |
正 | |
由于这种形状与黑塞排布共享复排布结构,即12条线上有9个点,每条线上有3个点,每个点上有4条线,因此考克斯特将这种形状以路德维希·奥托·黑塞的名字命名。[5]
黑塞二十七面体是一种位于复数空间的立体,其对应到实数空间同样也有一种实数空间的代表,其为221多胞体,考克斯特表示法计为,其在六维空间中[1]与黑塞二十七面体共用其27个顶点,其216条边可透过将三元边3{}替换成3条简单边即可于221中被观察到。[6]
性质
黑塞二十七面体由27个全等的莫比乌斯-坎特八边形组成[1],共有27个面、72条边和27个顶点[2],其72条边皆为三元边,每个边皆连接了3个顶点[7];其27个顶点中,每个顶点皆为8个莫比乌斯-坎特八边形的公共顶点,即顶点图为莫比乌斯-坎特八边形,换句话说即黑塞二十七面体是一个自身对偶多面体。[注 2][2]
对称性
其复镜像群为3[3]3[3]3或 对称性,阶数为648阶[1],这种对称性又可以称为黑塞群。其在每个顶点有27个 副本,阶数为24阶,其有24个三阶反射对称性。其考克斯特数为12,且具有基本不变量3,6和12的度数,其可以在多面体的投影对称性中被观察到。[6]
顶点坐标
对于λ, μ = 0,1,2,黑塞二十七面体的27个顶点可以在三维的复数空间中给出:[8]
- (0,ωλ,−ωμ)
- (−ωμ,0,ωλ)
- (ωλ,−ωμ,0)
其中 .
面的组成
黑塞二十七面体由27个全等的莫比乌斯-坎特八边形组成[1]。莫比乌斯-坎特八边形是一种由8个顶点和8条棱所组成的几何结构,其在施莱夫利符号中可以用3{3}3来表示、在考克斯特记号中可以用 来表示。与一般的八边形不同,莫比乌斯-坎特八边形位于复希尔伯特平面,且构成这种形状的棱每个棱阶连接了三个顶点,称为三元棱或三元边(Trion),这种几何结构在施莱夫利符号中可以用3{}来表示。[9]
考克斯特平面 | B4 | F4 | |
---|---|---|---|
图 | |||
对称性 | [8] | [12/3] |
正交投影
黑塞二十七面体有8种具有特殊对称性的正交投影。其中重合的顶点以不同颜色表示,其72个三元边被绘制为3条一般的边。其中,第一种代表了E6的考克斯特平面[1]。
E6 [12] |
Aut(E6) [18/2] |
D5 [8] |
D4 / A2 [6] |
---|---|---|---|
(1=红,3=橘) |
(1) |
(1,3) |
(3,9) |
B6 [12/2] |
A5 [6] |
A4 [5] |
A3 / D3 [4] |
(1,3) |
(1,3) |
(1,2) |
(1,4,7) |
用途
部分研究中,此形状用于表示标准模型中一些基本粒子的关系[10]。
相关多面体及其他几何结构
以亚历山大·威廷命名的复空间四维正多胞体——威廷二百四十胞体是一种由240个黑塞二十七面体所组成的四维正多胞体,其胞和顶点图皆为黑塞二十七面体。[11]
注释
参考文献
- Coxeter, H. S. M., Moser, W. O. J.; Generators and Relations for Discrete Groups (1965), esp pp 67–80.
- Coxeter, H. S. M.; Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, (1974).
- Coxeter, H. S. M., Shephard, G.C.; Portraits of a family of complex polytopes, Leonardo Vol 25, No 3/4, (1992), pp 239–244,
- ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Stacey, Blake C, Sporadic SICs and Exceptional Lie Algebras, sunclipse, December 30, 2018
- ^ 2.0 2.1 2.2 Duke, Andrew Cameron, Cube-like regular incidence complexes, Northeastern University, 2014
- ^ Krishnan, R and Harrison, PF and Scott, WG. Fully constrained Majorana neutrino mass matrices using . The European Physical Journal C (Springer). 2018, 78 (1): 74.
- ^ 4.0 4.1 4.2 Coxeter, H.S.M., Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39490-2
- ^ Coxeter, Complex Regular polytopes,[4] p.123
- ^ 6.0 6.1 Briand, Emmanuel and Luque, Jean-Gabriel and Thibon, Jean-Yves and Verstraete, Frank. The moduli space of three-qutrit states. Journal of mathematical physics (AIP). 2004, 45 (12): 4855––4867.
- ^ Complex Regular Polytopes,[4] 11.1 Regular complex polygons p.103
- ^ Coxeter, HSM. The equianharmonic surface and the Hessian polyhedron. Annali di Matematica Pura ed Applicata (Springer). 1974, 98 (1): 77––92.
- ^ Complex Regular Polytopes,[4] 11.1 Regular complex polygons p.103
- ^ de Wet, JA, A Standard Model Algebra, International Mathematical Forum 7 (51), 2012, 7 (51): 2519––2524
- ^ Lei, Y. Hessian Polyhedra, Invariant Theory and Appell Hypergeometric Functions. World Scientific Publishing Company. 2018: p.127. ISBN 9789813209497.