莫比乌斯-坎特八边形
在几何学中,莫比乌斯-坎特八边形是一个复正多边形,其位于复希尔伯特平面中由八个顶点和八个三元棱组成,是一个自身对偶的多边形[2]。考克斯特将其命名为莫比乌斯-坎特八边形,用于共享复排布结构,如莫比乌斯-坎特排布。[3]
莫比乌斯-坎特八边形 | |
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4个红色三角形和4个蓝色三角形分别代表其8条三元边 | |
类型 | 八边形 |
对偶 | 自身对偶 |
边 | 8个3{} |
顶点 | 8 |
施莱夫利符号 | 3{3}3 |
考克斯特图 | |
对称群 | 3[3]3, order 24 (谢泼德群) |
特性 | 正、复 |
这种形状由杰弗里·科林·谢泼德于1952年发现,其将此形状根据其对称性以3(24)3表示,考克斯特将这种对称性计为3[3]3,其与24阶的二元四面体群同构。[4]
性质
莫比乌斯-坎特八边形是一种由8个顶点和8条棱所组成的几何结构,其在施莱夫利符号中可以用3{3}3来表示、在考克斯特记号中可以用 来表示。与一般的八边形不同,莫比乌斯-坎特八边形位于复希尔伯特平面,且构成这种形状的棱每个棱阶连接了三个顶点,称为三元棱或三元边(Trion)[注 1],这种几何结构在施莱夫利符号中可以用3{}来表示。[5]
顶点坐标
莫比乌斯-坎特八边形可以于 空间中给出,其为:
(ω,−1,0) | (0,ω,−ω2) | (ω2,−1,0) | (−1,0,1) |
(−ω,0,1) | (0,ω2,−ω) | (−ω2,0,1) | (1,−1,0) |
其中 。
作为一种排布
莫比乌斯-坎特八边形3{3}3的排布矩阵为:[6]
实空间的代表
在实空间中,莫比乌斯-坎特八边形可以用四维空间的正十六胞体 来代表,[7]其共用了相同的8个顶点。当莫比乌斯-坎特八边形的8条三元边被绘制为三条独立的边时,即可在当莫比乌斯-坎特八边形中观察到正十六胞体的24条边。在下图中这8个三角形被以每个个分成一组,分别涂上蓝色和红色。下图中,B4投影在两个颜色组之间以两个拥有不同对称性的方向进行投影。此外,所代表的实空间形状也可以是一个β4的四维正轴形。[7]
考克斯特平面 | B4 | F4 | |
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图 | |||
对称性 | [8] | [12/3] |
参见
注释
参考文献
- ^ 1.0 1.1 Coxeter, H.S.M., Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39490-2
- ^ Coxeter, 1991,[1] p.30, 47
- ^ Coxeter, H. S. M., Shephard, G.C.; Portraits of a family of complex polytopes, Leonardo Vol 25, No 3/4, (1992), pp 239–244 [1] (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- ^ 4.0 4.1 Shephard, G.C.; Regular complex polytopes, Proc. London math. Soc. Series 3, Vol 2, (1952), pp 82–97.
- ^ Complex Regular Polytopes,[1] 11.1 Regular complex polygons p.103
- ^ Coxeter, Complex Regular polytopes, p.117, 132
- ^ 7.0 7.1 Shephard, G.C. 1952,[4] p.93