复多边形

在几何学中，复多边形或复多角形（complex polygon[注 1]）是指位于复希尔伯特平面的多边形。[1]由于复空间中的多边形未必会边数与顶点数相同，因此复多边形与复多角形不一定等价。较知名的复多边形为莫比乌斯－坎特八边形，是一种复八边形（维基数据所列：Q85396829）。

一种由8个四元边组成的复多边形，其施莱夫利符号计为4{4}2，考克斯特符号计为4node_1 4 node 或4node_1 2 4node_1 。值得注意的是它的顶点数与边数不同，其由8条边和16个顶点组成，在实空间代表几何结构为超立方体

性质

复多边形与实多边形的不同在于，实多边形的顶点坐标由2个实数决定，而复多边形的顶点坐标由2个复数决定。而在实多边形中，多边形的边为线段，换句话说即一维实空间的几何结构，而复多边形的边由一维的复数希尔伯特空间 ，即复平面所组成，换句话说，即组成复多边形的边可以是存在于复平面的任意可能的几何结构，因此可能存在2个以上的顶点（在图论中其概念与超边类似）。[1]

维度

多边形是一种二维几何图形，即每个顶点可以透过二维坐标系表达，换句话说，每个顶点只需要透过两个变量就能表达，虽然复多边形同样是如此，但在复多边形中，每个变量都是一个复数，而任一复数都可表达为 ，其中 及 皆为实数，分别称为复数之“实部”和“虚部”[2]。因此一个一维的复数空间实际上是由一个实维度和一个虚维度构成，并可以透过阿尔冈图表示[4]，也就是说，每个复数维度都可以再进一步的分成一个实数空间以及一个虚数空间。

复多边形所在的 复希尔伯特平面就可以视为两个复平面以彼此正交的方式组成，因此具有两个实维度和两个虚维度（不计虚或实共有四个空间维度）。因此，每个复多边形一般会存在至少一个位于四维空间的实空间代表之几何结构，例如莫比乌斯－坎特八边形的实空间代表几何结构为正十六胞体       [6]。

正复多边形

正复多边形（或复正多边形）是指同时满足正多边形定义以及复多边形定义的多边形，意味着其需要据备所有边等长（对二元边）或相同结构并全等（对三元边或三元以上的多元边）以及所有角等角（对由二元边组成的角）或相同结构且顶点图全等（对含有三元边或三元以上的多元边构成的角）的多边形。所有的正实多边形皆属于虚部为零的正复多边形。

除了对应到实空间为四维柱体柱p{4}2之外，构成正复多边形的边之元数不会超过5，而若考虑退化形式，即正无限边形对应的正复多边形，则其边之元数也不会超过6。除了全由二元边组成的正实多边形和p{4}2之外，正复多边形个数是有限的。[3]:177-179

复无限边形

 
11种复正无限边形。边以浅蓝色表示，p为边的元数；边与顶点的关系将以正中心的顶点为例，个别将与该顶点相连的边或多元边以红、橙、黄、绿、蓝及紫表示。

复无限边形是指位于 复希尔伯特平面的无限边形[7]。考克斯特将具有p[q]r且1/p + 2/q + 1/r = 1对称性的复无限边形计为δp,r
2，其中q需要满足q = 2/(1 – (p + r)/pr)。[8]考虑由有限元边构成的复无限边形，共有8组解满足上述条件：

2[∞]2 3[12]2 4[8]2 6[6]2 3[6]3 6[4]3 4[4]4 6[3]6
                               

四元多边形

在几何中，四元数空间的多边形是实数空间中的多边形在四元数空间的推广。其与复数空间类似，点不具有序性，因此没有“位于...之间”的相互关系，因此一个四元数空间多边形可以被理解为一组点、边的排布关系，其中，点为多条边的连接点。而其维度会比复多边形更高，类似于复多边形，四元多边形的边为一维四元数希尔伯特空间 的几何结构，而整个多边形则位于 四元数希尔伯特平面，因此所在空间整体可以视为两个四元数以彼此正交的方式组成，因此整体可以视为一个八维空间。此外由于四元数的乘法不具有交换率，因此必须透过标量与向量相乘来构建乘法系统，通常会使用左乘法。[9]

参见

  • 复八边形（维基数据所列：Q85396829）
  • 复多胞形

注释

  1. ^ 此处的complex polygon中，complex代表复数（Complex Number、 ），因此称为复多边形或复数空间多边形（简称复数多边形）。然而在计算机图形学中， 也有一个称为complex polygon的概念，但是在这种情况下，complex并不意味着“复数域上的结构”，因此不会将其称为复多边形。一般数学或几何学也有这种概念，尤其在讨论多边形是否存在自相交的情况，在这种情况下complex polygon应被称为复杂多边形，这意味着该多边形存在着自相交的情况，即simple（非简单闭合曲线），因此称为complex（意味着复杂或不简单）。而又有一类多边形称为复合多边形，其表示多个多边形组成的复合图形，其名称不应与复多边形和复杂多边形混淆。

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 Coxeter, H. S. M., Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, 1974.
  2. ^ Ahlfors, Lars, Complex analysis 3rd, McGraw-Hill, 1979, ISBN 978-0-07-000657-7 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Coxeter, H.S.M., Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39490-2 
  4. ^ Complex Regular Polytopes,[3] 11.1 Regular complex polygons p.103
  5. ^ Shephard, G.C.; Regular complex polytopes, Proc. London math. Soc. Series 3, Vol 2, (1952), pp 82–97.
  6. ^ Shephard, G.C. 1952,[5] p.93
  7. ^ Complex Regular Polytopes,[3] Table IV. The regular polygons. pp. 178–179
  8. ^ Complex Regular Polytopes,[3] Table VI. The regular honeycombs. p. 111, 136.
  9. ^ Davis, C.; Grünbaum, B.; Sherk, F.A. The Geometric Vein: The Coxeter Festschrift - Google Books. 2012-12-06 [2016-04-15]. ISBN 9781461256489.