定义
一个欧几里得整环是一整环 及函数 ,使之满足下述性质:
- 若 而 ,则存在 使得 ,而且 ,或者 。
- 若 整除 ,则 。
函数 可设想成元素大小的量度,当 时可取 。
例子
欧几理得整环的例子包括了:
- 整数环 , 。
- 高斯整数环 。
- 域上的多项式环( )与幂级数环( 定义为使 的最大非负整数 )。
- 离散赋值环, 定义为使 的最大非负整数 ,其中 表该离散赋值环的唯一极大理想。
利用辗转相除法(定义中的第一条性质),可以证明欧几里得环必为主理想环,此时理想由其中 -值最小的元素生成。由此得到一个推论:欧几里得整环必为唯一分解环。
并非所有主理想环都是欧几里得整环,Motzkin 证明了 的整数环在 时并非欧几里得整环,却仍是主理想环。这方面的进一步结果详见以下文献。
文献
- Motzkin. The Euclidean algorithm, Bull. Amer. Math. Soc. 55, (1949) pp. 1142--1146
- Weinberger. On Euclidean rings of algebraic integers in "Analytic number theory", Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXIV, St. Louis Univ., St. Louis, MO (1972) published by Amer. Math. Soc. (1973) pp. 321--332
- Harper and Murty, Canad. J. Math. Vol. 56 (1) (2004) pp. 71--76