欧几里得整环

一个欧几里得整环是一整环 ${\displaystyle D}$  及函数 ${\displaystyle v:D\setminus \{0\}\to \mathbb {N} \cup \{0\}}$ ，使之满足下述性质：

• 若 ${\displaystyle a,b\in D}$  而 ${\displaystyle b\neq 0}$ ，则存在 ${\displaystyle q,r\in D}$  使得 ${\displaystyle a=bq+r}$ ，而且 ${\displaystyle r=0}$ ，或者 ${\displaystyle v(r)<v(b)}$ 。
• 若 ${\displaystyle a}$  整除 ${\displaystyle b}$ ，则 ${\displaystyle v(a)\leq v(b)}$ 。

函数 ${\displaystyle v}$  可设想成元素大小的量度，当 ${\displaystyle D=\mathbb {Z} }$  时可取 ${\displaystyle v(x):=|x|}$ 。

欧几理得整环的例子包括了：

• 整数环 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ，${\displaystyle v(x)=|x|}$ 。
• 高斯整数环 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]}$ 。
• 域上的多项式环（${\displaystyle v(f)=\deg f}$ ）与幂级数环（${\displaystyle v(f)}$  定义为使 ${\displaystyle X^{n}|f(X)}$  的最大非负整数 ${\displaystyle n}$ ）。
• 离散赋值环，${\displaystyle v(x)}$  定义为使 ${\displaystyle x\in {\mathfrak {m}}^{n}}$  的最大非负整数 ${\displaystyle n}$ ，其中 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$  表该离散赋值环的唯一极大理想。

利用辗转相除法（定义中的第一条性质），可以证明欧几里得环必为主理想环，此时理想由其中 ${\displaystyle v}$ -值最小的元素生成。由此得到一个推论：欧几里得整环必为唯一分解环。

并非所有主理想环都是欧几里得整环，Motzkin 证明了 ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]}$  的整数环在 ${\displaystyle d=-19,-43,-67,-163}$  时并非欧几里得整环，却仍是主理想环。这方面的进一步结果详见以下文献。

• Motzkin. The Euclidean algorithm, Bull. Amer. Math. Soc. 55, (1949) pp. 1142--1146
• Weinberger. On Euclidean rings of algebraic integers in "Analytic number theory", Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXIV, St. Louis Univ., St. Louis, MO (1972) published by Amer. Math. Soc. (1973) pp. 321--332
• Harper and Murty, Canad. J. Math. Vol. 56 (1) (2004) pp. 71--76