在抽象代数学,交换代数和代数几何学中,一个交换环的谱是指其素理想全体形成的集合,记作。它被赋予扎里斯基拓扑和结构层,从而成为局部赋环空间。
一个局部赋环空间若同构于一个交换环谱,即称为仿射概形。
扎里斯基拓扑
对于交换环 里的任一理想 ,置 。容易证明下述性质:
-
-
- 当且仅当
因此我们可以在 上定义一个拓扑结构,使得其闭子集恰为形如 的子集,称之扎里斯基拓扑。
一般而言,扎里斯基拓扑并不满足豪斯多夫性质。
结构层
考虑扎里斯基拓扑下的下述预层:
令 为其层化,称作 的结构层。显然有 ,故 构成一个局部赋环空间。
一个元素 给出 的截面,事实上可以证明 。
交换环谱间的态射
设 为交换环, 为一同态,则可定义一个映射 ,这是从 到 的连续映射,在结构层上则以 定义 ,那么 给出局部赋环空间的态射。
反之,任何仿射概形间的态射皆由此唯一地给出。上述对应遂建立起交换环的反范畴与仿射概形范畴的等价性。
古典观点
令 为代数封闭域,给定 (i=1,2,...),则方程组 定义一个代数簇 。
设 , 。根据希尔伯特零点定理, 的点一一对应到 的极大理想。
一般而言, 内的元素一一对应到 内的不可约闭集。考虑全体素理想的好处之一,在于可以借此在概形上运用安德烈·韦伊的一般点(generic point)理论;此外,环同态不一定将极大理想拉回到极大理想,除非该环是 Jacobson 环。
的拓扑结构仅涉及 。 里的幂零元素看似无几何意义,但它们在研究无穷小变化及态射的纤维上功效至大。
参见