秩 (群)

在数学的群论中，一个群G的秩rank(G)，是G的各个生成集合中最小的势，也就是

\operatorname {rank} (G)=\min\{|X|:X\subseteq G,\langle X\rangle =G\}.

若G是有限生成群，则G的秩是非负整数。

群的秩这个群论概念，类似于向量空间的维数。事实上，如果P是p-群，那么群P的秩，等于向量空间P/Φ(P)的维数，其中Φ(P)是P的弗拉蒂尼子群。

例子

对非平凡群G，rank(G)=1当且仅当G是循环群。
对自由阿贝尔群 $\mathbb {Z} ^{n}$ ，有 ${\rm {rank}}(\mathbb {Z} ^{n})=n$ 。
若G是有限非阿贝尔单群，则rank(G) = 2。这是从有限单群分类得出的结果。
若G是有限生成群，Φ(G) ≤ G是G的弗拉蒂尼子群（Φ(G)一定是G的正规子群，故此商群G/Φ(G)可定义），则rank(G) = rank(G/Φ(G))。^[1]
若 $G=\langle x_{1},\dots ,x_{n}|r=1\rangle$ 是单关系元群，r不是自由群F(x₁,..., x_n)的本原元，即r不在F(x₁,..., x_n)的某个自由基之内，则rank(G) = n。^[2]^[3]

参考

^ D. J. S. Robinson. A course in the theory of groups, 2nd edn, Graduate Texts in Mathematics 80 (Springer-Verlag, 1996). Wilhelm Magnus, Uber freie Faktorgruppen und freie Untergruppen Gegebener Gruppen, Monatshefte für Mathematik, vol. 47(1939), pp. 307–313.
^ Roger C. Lyndon and Paul E. Schupp. Combinatorial Group Theory. Springer-Verlag, New York, 2001. "Classics in Mathematics" series, reprint of the 1977 edition. 编辑
- 阿贝尔群的秩