例子
- 有理数 对加法构成可除群。
- 一般而言,任何 -向量空间对加法都构成可除群。
- 可除群的商群仍可除,如 。
- p-Prüfer 群 是可除群
- 在模型论中,任何存在性封闭的群皆可解。
可除群结构定理
令 为可解群,则其挠子群 亦可除。由于可解群是 -内射模, 是直和项,即:
-
商群 亦可解,而且其中没有挠元,所以它是 -上的向量空间:存在集合 使得
-
挠子群的结构稍复杂,然而可以证明对所有素数 ,存在 使得
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其中 是 是的 -准素部分。于是:
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推广
一个环 上的左可除模是满足 的模 。可除群不外是可除 -模。主理想域上的可除模恰好是内射模。