可除群

群论中,一个可除群是一个满足以下条件的阿贝尔群 :对每个正整数 及元素 ,存在 使得 。等价的表法是:。事实上,可除群恰好是 上的内射模,所以有时也称之为内射群

例子

  • 有理数   对加法构成可除群。
  • 一般而言,任何  -向量空间对加法都构成可除群。
  • 可除群的商群仍可除,如  
  • p-Prüfer 群   是可除群
  • 模型论中,任何存在性封闭的群皆可解。

可除群结构定理

  为可解群,则其挠子群   亦可除。由于可解群是  -内射模  是直和项,即:

 

商群   亦可解,而且其中没有挠元,所以它是  -上的向量空间:存在集合   使得

 

挠子群的结构稍复杂,然而可以证明对所有素数  ,存在   使得

 

其中    是的  -准素部分。于是:

 

推广

一个   上的左可除模是满足   的模  。可除群不外是可除  -模。主理想域上的可除模恰好是内射模