深度 (模论)

设 ${\displaystyle R}$  为交换环，${\displaystyle M}$  为 ${\displaystyle R}$ -模。若元素 ${\displaystyle x\in R}$  满足 ${\displaystyle \forall m\in M,\;xm=0\Rightarrow m=0}$ （即：${\displaystyle x}$  非 ${\displaystyle M}$  的零因子），则称之为 ${\displaystyle M}$ -正则元。

一组 M-正则序列是一个 ${\displaystyle R}$  中的有限序列 ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{d})}$ ，使得对每个 ${\displaystyle 1\leq i\leq d}$  有

${\displaystyle x_{i}}$  为 ${\displaystyle M/(x_{0},\ldots ,x_{i-1})}$ -正则元（置 ${\displaystyle x_{0}:=0}$ ）

定理（Rees）：若 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$  是局部诺特环，元素皆属于 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$  的正则序列之排列仍是正则序列，而且这类序列中的极大者都具相同长度。

假设同上，并固定一个理想 ${\displaystyle I\subset R}$ 。定义${\displaystyle R}$ -模 ${\displaystyle M}$  的I-深度为元素皆属于 ${\displaystyle I}$  的 ${\displaystyle M}$ -正则序列的最大长度，记作 ${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)}$ （在法文文献中常记作 ${\displaystyle \mathrm {prof} _{I}(M)}$ ）。环 ${\displaystyle R}$  的 ${\displaystyle I}$ -深度定义为 ${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(R)}$ 。

${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)}$  亦可用Ext函子刻划为使得 ${\displaystyle \mathrm {Ext} ^{n}(R/I,M)\neq 0}$  的最小非负整数 ${\displaystyle n}$ 。

下列等式将深度问题化约到局部环的情形：

${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)=\sup _{{\mathfrak {p}}\supset I}(M_{\mathfrak {p}})}$ 

以下定理揭示了深度与射影维度的关系。

定理 （Auslander-Buchsbaum）：设 ${\displaystyle A}$  为局部诺特环，${\displaystyle M}$  为有限生成 ${\displaystyle A}$ -模，而且其射影维度有限，则

${\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)+\mathrm {depth} _{A}(M)=\mathrm {depth} (A)}$ 

• V.I. Danilov, Depth of a module, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer Graduate Texts in Mathematics, no. 150. ISBN 0-387-94268-8
• Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen-Macaulay rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1