希尔伯特模形式

对于 ${\displaystyle m}$  次全实域 ${\displaystyle K}$ 、${\displaystyle {\mathcal {O}}}$  为其中的代数整数环、 ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{m}:K\to \mathbb {R} }$  为相应的实嵌入映射。由此得到嵌入映射

${\displaystyle \mathrm {GL} (2,F)\to \mathrm {GL} (2,\mathbb {R} )^{m},\quad g\mapsto (\sigma _{1}(g),\ldots ,\sigma _{m}(g))}$ 

设 ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\mathrm {GL} (2,\mathbb {R} )/\mathrm {SO} (2,\mathbb {R} )}$  为上半平面，透过上述嵌入，${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(2,{\mathcal {O}})}$ （指 ${\displaystyle \mathrm {GL} (2,{\mathcal {O}})}$  中行列式为正的元素）作用于 ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$  上。

对 ${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in GL(2,\mathbb {R} )}$ ，定义自守因子之值为

${\displaystyle j(g,z)=(\det g)^{-{\frac {1}{2}}}(cz+d)}$ 

权为 ${\displaystyle (k_{1},\cdots ,k_{m})}$  之希尔伯特模形式是指 ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$  上满足下述函数方程的全纯函数

${\displaystyle \mathrm{\forall }\gamma \in {\mathrm{G}\mathrm{L}}^{+}(2,\mathcal{O}),f(\gamma z)=\prod _{i=1}^{m}j({\sigma }_i(\gamma ),z_i{)}^{k_i}f(z).}${\displaystyle \forall \gamma \in \mathrm {GL} ^{+}(2,{\mathcal {O}}),\;f(\gamma z)=\prod _{i=1}^{m}j(\sigma _{i}(\gamma ),z_{i})^{k_{i}}f(z).}  

此定义与模形式的差异在于：当 ${\displaystyle K\neq \mathbb {Q} }$  时，不需要另加增长条件，这是 Koecher 定理的一个推论。

• Paul B. Garrett, Holomorphic Hilbert Modular Forms. Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, Pacific Grove, CA, 1990. ISBN 0-534-10344-8
• Eberhard Freitag, Hilbert Modular Forms. Springer-Verlag. ISBN 0-387-50586-5