雅可比椭圆函数
在数学中,雅可比椭圆函数是由卡尔·雅可比在1830年左右研究的一类椭圆函数。这类函数可用于摆之类的应用问题,并具有与三角函数相似的性质。
介绍
雅可比椭圆函数有十二种,各对映到某个矩形的顶点连线。此诸顶点记作 。
视此矩形为复数平面的一部分, 是原点, 是实轴上的一点 是 , 是 。 与 称作四分之一周期。
十二个椭圆函数分别记为 。为方便起见,取变数 意指矩形上的任一对顶点,则函数 是唯一满足以下性质的周期亚纯函数
- 是单零点, 是单极点。
- 在 方向的周期等于 距离的两倍。对另两个从 出发的方向, 亦满足同样性质。
- 在顶点 的展式首项系数均为一。
表列如次:
函数 | 周期 | 零点 | 极点 | 留数 |
---|---|---|---|---|
与 是整数 |
一般而言,须以平行四边形代替上述矩形,以考虑更一般的周期。
表为椭圆积分之逆
以上定义略显抽象,更具体的定义是将之表为某类椭圆积分(第一类不完全椭圆积分)之逆。设
椭圆正弦函数 sn u 定义为
而椭圆余弦函数 cn u 定义为
同理,椭圆德尔塔函数有
这里的 是自由变元,通常取 。
剩下的九种椭圆函数能由这三种构造。
反函数
雅可比椭圆函数的反函数可以像三角函数与反三角函数那样被定义。因为椭圆函数往往是椭圆积分之逆,这些反函数也都可以用勒让德椭圆积分来描述。如同反三角函数一样,雅可比椭圆函数的反函数也是多值的,因此需要支割线。以下是部分反函数的积分表达:
用Θ函数来定义
雅可比椭圆函数也可以用Θ函数来定义。如果我们把 简写为 ,把 分别简写为 (Theta常数),那么椭圆模k是 。如果我们设 ,我们便有:
加法定理
由此可见 (cn,sn,dn) 描出射影空间 中两个二次曲面之交,这同构于一条椭圆曲线。曲线上的群运算由下列加法公式描述:
函数的平方之间的关系
常微分方程的解
三个基本的雅可比椭圆函数的导数为:
根据以上的加法定理,可知它们是以下非线性常微分方程的解:
- 是微分方程 和 的解;
- 是微分方程 和 的解;
- 是微分方程 和 的解。
图像
文献
- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. 1972. 第16章 (页面存档备份,存于互联网档案馆) ); 见
- Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
- E. T. Whittaker and G. N. Watson A Course of Modern Analysis, (1940, 1996) Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3
- Alfred George Greenhill, The applications of elliptic functions (London, New York, Macmillan, 1892)
- H. Hancock Lectures on the theory of elliptic functions (New York, J. Wiley & sons, 1910)
- A. C. Dixon The elementary properties of the elliptic functions, with examples (Macmillan, 1894)