欧拉函数 (复变函数)

数学上,欧拉函数的定义如下

复数平面上欧拉函数φ的绝对值,黑色部分的值为0,红黑色部分的值为4

此函数得名由莱昂哈德·欧拉。欧拉函数是典型的q级数模形式函数,也是描述组合数学复分析之间关系的典型范例。

性质

欧拉函数的的倒数 展开成形式幂级数,其对应的系数 恰好是k的分割函数,亦即

 

其中 为k的分割函数

五边形数定理是一个有关欧拉函数的恒等式,其定理如下:

 

其中 广义五边形数

依拉马努金恒等式(Ramanujan identity),欧拉函数和戴德金η函数有以下的关系:

 

其中 nome英语nome (mathematics)的平方。

上述二个函数都有模群英语modular group下的对称性。

参照

  • 欧拉函数(也称为欧拉商数)

参考资料

  • Apostol, Tom M., Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976, ISBN 978-0-387-90163-3, MR0434929