五边形数定理

五边形数定理是一个由欧拉发现的数学定理，描述欧拉函数 $\phi (q)$ 展开式的特性^[1]^[2]。欧拉函数的展开式如下：

\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}x^{\frac {k(3k-1)}{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{\frac {k(3k\pm 1)}{2}}

亦即

(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\cdots =1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}+\cdots .

欧拉函数展开后，有些次方项被消去，只留下次方项为1, 2, 5, 7, 12, ...的项次，留下来的次方恰为广义五边形数。

若将上式视为幂级数，其收敛半径为1，不过若只是当作形式幂级数来考虑，就不会考虑其收敛半径。

和分割函数的关系

欧拉函数的倒数是分割函数的母函数，亦即：

{\frac {1}{\phi (x)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)x^{k}

其中 $p(k)$ 为k的分割函数。

上式配合五边形数定理，可以得到

(1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}+\cdots )(1+p(1)x+p(2)x^{2}+p(3)x^{3}+\cdots )=1

考虑 $x^{n}$ 项的系数，在 n>0 时，等式右侧的系数均为0，比较等式二侧的系数，可得

p(n)-p(n-1)-p(n-2)+p(n-5)+p(n-7)+\cdots =0

因此可得到分割函数p(n)的递归式

p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+\cdots

以n=10为例

p(10)=p(9)+p(8)-p(5)-p(3)=30+22-7-3=42

^ 原文为Euler, Leonhard. Evolutio producti infiniti $(1-x)(1-xx)(1-x^{3})(1-x^{4})(1-x^{5})$ etc. in seriem simplicem. Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae. 1775, 1780: 47–55.
^ 英文翻译版为Bell, J在2004-12-4翻译的《The Expansion of the Infinite Product $(1-x)(1-xx)(1-x^{3})(1-x^{4})(1-x^{5})(1-x^{6})$ etc. into a Single Series》，http://www.arxiv.org/abs/math.HO/0411454/.