Q-模拟
在数学里,尤其是组合数学和特殊函数领域,一个定理、等式或者表达式的q-模拟是指在引入一个新的参数q后当q→1时原定理、等式或表达式的极限。最早地研究得较为深入的q-模拟是 19世纪[1]被引入的基本超几何级数。
q-模拟在包括分形、多重分形, 混沌动力系统的熵表达在内的多个研究领域都有应用。另外,在量子群 和 q-变形 代数的研究中也有应用。
"经典" q-理论
经典 q-理论开始于非负整数的q-模拟。[3] 等式
表示定义n的q-模拟为
阶乘的q-模拟,称作q-阶乘,被定义为
[n]q! 表示逆序对的数目。如果 inv(w)表示全排列w 的逆序对,Sn表示n全排列的集合, 则有
特别地, 当取极限 时就得到一般的阶乘公式。
根据q-阶乘, 可以定义 q-二项式系数, 也被称作高斯系数, 高斯多项式, 或高斯二项式系数:
q-指数定义为:
组合q-模拟
高斯二项式系数计算一个有限维向量空间的子空间数。令q表示一个有限域里的元素数目,则在q元有限域上n维向量空间的k维子空间数等于 当q等于1时, 得到二项式系数
参考文献
- ^ Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983,
- q-analog(页面存档备份,存于互联网档案馆) from MathWorld
- q-bracket(页面存档备份,存于互联网档案馆) from MathWorld
- q-factorial(页面存档备份,存于互联网档案馆) from MathWorld
- q-binomial coefficient(页面存档备份,存于互联网档案馆) from MathWorld
外部链接
- Hazewinkel, Michiel (编), Umbral calculus, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4