格兰迪级数

针对以下的格兰迪级数

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …

一种求和方式是求它的裂项和：

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.

但若调整括弧的位置，会得到不同的结果：

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.

用不同的方式为格兰迪级数加上括弧进行求和，其级数和可以得到0或是1的值。

格兰迪级数为发散几何级数，若将收敛几何级数求和的方式用在格兰迪级数，可以得到第三个数值：

${\displaystyle S}$  = 1 − 1 + 1 − 1 + …，因此

1 − ${\displaystyle S}$  = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = ${\displaystyle S}$ ，即

2${\displaystyle S}$  = 1，

可得到${\displaystyle S}$  = ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ^[1]。

依照上述的计算，可以得到以下的二种结论：

• 格兰迪级数 1 − 1 + 1 − 1 + … 的和不存在^[1][2]。
• 格兰迪级数的和为${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ^[2]。

上述二个答案都可以精确的证明，但需要用19世纪提出的一些良好定义的数学概念。从17世纪欧洲开始使用微积分起，一直到现在严谨的数学成型之前，上述二个答案已造成数学家们尖锐及无止尽的争论^[3][4]。

稳定性及线性

对于格兰迪级数${\textstyle \,1-1+1-1+\cdots }$ ，看似可以用以下的方式处理，得到数值${\displaystyle \;{\tfrac {1}{2}}}$ ：

• 级数内的数两两相加或相减。
• 每一项乘以一个系数。
• 调整括弧顺序。
• 在级数前面增加新的项。

不过因为上述的处理方式只能适用在收敛的级数，而${\textstyle \,1-1+1-1+\cdots \,}$ 不是收敛级数，因此上述处理都不适用。

由于各项 1,−1,1,−1,1,−1,…… 以一种简单模式排列，格兰迪级数可以透过移项以及逐项求和，再透过解方程得出一数值。暂时假设${\textstyle \,s=1-1+1-1+\cdots \,}$ 这样的写法有意义——其中的${\displaystyle \;s\;}$ 为常数，那么以下的计算将说明${\textstyle \;s={\frac {1}{2}}}$ ：

${\displaystyle {\begin{smallmatrix}2s\ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )\quad \,\\\\\ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )&+\,1\,+&(\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,1\,\cdots )\quad \,\\\\\ &=&1\,\ +&[\,(\,\underbrace {1\,-\,1\,-\,1\,+\,1} _{0}\,)\quad &+\ \ \;\;\,&(\,\underbrace {-\,1\,+\,1\,+\,1\,-\,1} _{0}\,)\,+\,\cdots ]\end{smallmatrix}}}$ 

因此，${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}}$ ^[5]。

再者，有许多的求和方式可以处理发散级数，并且可以对一些发散级数求和；其中相对简单的方法是切萨罗求和^[6]。

切萨罗和

恩纳斯托‧切萨罗在1890年第一个出版有关对发散级数求和的严谨方法，就是切萨罗和。基本概念类似莱布尼兹的概率法，一个级数的切萨罗和是其所有分项和的平均。也就是针对每个${\displaystyle \;n\;}$ ，计算前${\displaystyle \;n\;}$ 项的和${\textstyle \;\sigma _{n}\;}$ 的平均，当${\displaystyle \;n\;}$ 趋近无限大时的极限值即为切萨罗和。

以格兰迪级数而言，而数列 ${\textstyle {\tfrac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}}$ 的各项分别为

${\displaystyle {\frac {1}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{7}},\,{\frac {4}{8}},\,\ldots }$ ,

而

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}={\frac {1}{2}}}$ 

因此，格兰迪级数的切萨罗和为 ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ 。

也可以用广义的切萨罗和${\displaystyle \;\left(C,a\right)\;}$ 来计算^[7]。

这个级数的部分和如下：

${\displaystyle {\begin{cases}S_{1}=1\\S_{2}=1-1=0\\S_{3}=1-1+1=1\\S_{4}=1-1+1-1=0\\\quad \;\,\vdots \end{cases}}}$ 

由此得出另一个无穷序列：

${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4},\cdots =1,0,1,0,\cdots }$ ，

根据无穷级数的定义，

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\,(-1)^{n}=\lim _{n\to \infty }S_{n}}$ 

但是${\displaystyle \;S_{n}\;}$ 的无穷序列无法收敛到某个固定值（不断在0和1之间来回变动），所以${\displaystyle \;\lim _{n\to \infty }S_{n}\;}$ 发散。

因此${\displaystyle \;\sum _{n=0}^{\infty }\,(-1)^{n}\;}$ 这个级数也发散。

幂级数

以下的幂级数和格兰迪级数有关，也是其母函数：

${\displaystyle f(x)=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots ={\frac {1}{1+x}}}$ 

狄拉克梳

格兰迪级数在另一个重要的级数中出现：

${\displaystyle \cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx).}$ 

若x = π，其上述级数化简为−1 + 1 − 1 + 1 − · · ，欧拉认为其值符合以下的关系式Σ cos kx = −¹⁄₂，不过达朗贝尔不同意此关系式，而拉格朗日认为这可以用类似欧拉对格兰迪级数的理解来延伸说明^[8]。

欧拉的声明推测

${\displaystyle 1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)=0?}$ 

针对所有的x，此级数都发散，不过对于几乎所有的x，切萨罗和均为0。不过在x = 2πn时，其级数发散，而且是狄拉克梳（英语：Dirac comb）的傅里叶级数。其一般和、切萨罗和及阿贝尔和分别和狄利克雷核、费耶核及泊松核（英语：Poisson kernel）的极限有关^[9]。

狄利克雷级数

将格兰迪级数各项乘以1/n^z可以得到以下的狄利克雷级数

${\displaystyle \eta (z)=1-{\frac {1}{2^{z}}}+{\frac {1}{3^{z}}}-{\frac {1}{4^{z}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{z}}},}$ 

上述级数只有在实部大于0的复数z才会收敛，若令z = 0，即为格兰迪级数。

不同于几何级数，狄利克雷级数对于1 − 1 + 1 − 1 + · · · 的求和没有什么帮助。即使在右半平面上，上述的${\displaystyle \eta (z)}$ 也无法用初等函数来表示，也没有直接证据可以证明当z趋近0时，${\displaystyle \eta (z)}$ 的极值。

另一方面，若使用其他较强的求和法，则上述的${\displaystyle \eta (z)}$ 可定义一个在整个复平面的函数－狄利克雷η函数，而且此函数为解析函数。若z的实部> −1，就可以用切萨罗和进行求和，因此η(0) = ¹⁄₂。

狄利克雷η函数和另一个著名的狄利克雷级数及函数有关：

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\eta (z)&=&\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{z}}}+{\frac {1}{3^{z}}}+{\frac {1}{4^{z}}}+\cdots -{\frac {2}{2^{z}}}\left(1+{\frac {1}{2^{z}}}+\cdots \right)\\[1em]&=&\displaystyle \left(1-{\frac {2}{2^{z}}}\right)\zeta (z),\end{array}}}$ 

其中ζ为黎曼ζ函数。若将格兰迪级数的和再配合上述公式，可以得到ζ(0) = −¹⁄₂。参照1 + 1 + 1 + 1 + …。

上述的关系式也可以推得一些更重要的性质。由于黎曼ζ函数可表示为η(z)和(1 − 2^1−z)相除的结果，二个函数在整个复平面均为解析函数，而后者的零点是在z = 1的简单零点，因此可得ζ(z)为亚纯函数，只在z = 1有一个极点^[10]。

物理学

格兰迪级数及其衍生的级数常在物理学的各领域中出现，最典型的是量子化的费米子场，其中同时有正的及负的特征值，例如手征口袋模型（chiral bag model）。不过这些级数也出现在玻色子的相关研究中，例如卡西米尔效应。

在光谱非对称性（英语：spectral asymmetry）领域也会用到由格兰迪级数衍生的级数，而其求和方式是正规化的一部分，例如ζ函数正规化（英语：zeta function regulator）就是其中的一种。

• 交错级数