标准矩

在概率论和统计学中，一个概率分布的标准矩是经过标准化后的中心矩（通常是较高阶的中心矩）。标准化通常是将其除以标准差的过程，这样做可以使得标准矩对缩放和离散程度皆能保持一致，在比较不同概率分布的形状时更为方便。^[1]

定义

设X为一随机变量，其概率密度函数为f、平均值为 ${\textstyle \mu =\mathrm {E} [X]}$ (一阶原点矩)，则第k阶标准矩为 ${\frac {\mu _{k}}{\sigma ^{k}}}\!$ ，^[2] 其中 $\mu _{k}$ 是第k阶中心矩：

\mu _{k}=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{k}\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{k}f(x)\mathrm {d} x

$\sigma ^{k}$ 为标准差的k次方：

\sigma ^{k}={\Bigl (}{\sqrt {\mathrm {E} [(X-\mu )^{2}]}}{\Bigr )}^{k}

以通式表示：

{\hat {\mu }}_{k}={\frac {\mu _{k}}{\sigma ^{k}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{k}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{k/2}}}

以下列出前4个标准矩：

阶数 k	定义	说明
1	${\hat {\mu }}_{1}={\frac {\mu _{1}}{\sigma ^{1}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{1}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{1/2}}}=0$	一阶标准矩恒为0，因为一阶中心矩恒为0。
2	${\hat {\mu }}_{2}={\frac {\mu _{2}}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{2/2}}}=1$	二阶标准矩恒为1，因为二阶中心矩即为方差 $\sigma ^{2}$ 。
3	${\hat {\mu }}_{3}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{3}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{3/2}}}$	三阶标准矩用于定义偏度。
4	${\hat {\mu }}_{4}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{4}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{4/2}}}$	四阶标准矩用于定义峰度。

^ Ramsey, James Bernard; Newton, H. Joseph; Harvill, Jane L. CHAPTER 4 MOMENTS AND THE SHAPE OF HISTOGRAMS. The Elements of Statistics: With Applications to Economics and the Social Sciences. Duxbury/Thomson Learning. 2002-01-01: 96. ISBN 9780534371111 （英语）.
^ Weisstein, Eric W. (编). Standardized Moment. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2016-03-30]. （原始内容存档于2022-01-27）（英语）.