峰度

总体峰态系数定义为：

${\displaystyle {\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}},\!}$ 

即四阶标准矩，其中${\displaystyle \mu _{4}}$ 是四阶中心矩，${\displaystyle \sigma }$ 是标准差。

在更通常的情况下，峰度被定义为四阶累积量除以二阶累积量的平方，它等于四阶中心矩除以概率分布方差的平方再减去3：

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\kappa _{4}}{\kappa _{2}^{2}}}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-3}$ 

这也被称为超值峰度（excess kurtosis）。“减3”是为了让正态分布的峰度为0。

假定${\displaystyle Y}$ 为${\displaystyle n}$ 个独立变量之和，且这些变量和${\displaystyle X}$ 具有相同的分布，那么：${\displaystyle \mathrm {Kurt} [Y]={\frac {\mathrm {Kurt} [X]}{n}}}$ ， 但如果峰度被定义为：${\displaystyle {\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}}$ ，公式可变得更加复杂。

更一般地说，假定${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ 为方差相等的独立随机变量，那么：

${\displaystyle \operatorname {Kurt} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)={1 \over n^{2}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Kurt} (X_{i}),}$ 

而定义中如果不包含“减3”就无法成立。

如果超值峰度为正，称为高狭峰（leptokurtic）。如果超值峰度为负，称为低阔峰（platykurtic）。

对于具有${\displaystyle n}$ 个值的样本，样本峰度为：

${\displaystyle g_{2}={\frac {m_{4}}{m_{2}^{2}}}-3={\frac {{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{4}}{\left({\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)^{2}}}-3}$ 

其中${\displaystyle m_{4}}$ 是四阶样本中心矩，${\displaystyle m_{2}}$ 是二阶中心矩（即使样本方差），${\displaystyle x_{i}}$ 是第${\displaystyle i^{th}}$ 个值，${\displaystyle {\overline {x}}}$ 是样本平均值。注意此处计算方差的时候除数是${\displaystyle N}$ ，而不是单独计算样本方差的${\displaystyle (N-1)}$ 。

有时候也使用公式：

${\displaystyle D={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}$ ,

${\displaystyle E={1 \over nD^{2}}\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}-3}$ 

其中，${\displaystyle n}$ 为样本大小，${\displaystyle D}$ 为事先计算的方差，${\displaystyle x_{i}}$ 为第${\displaystyle i}$ 个测量值，${\displaystyle {\bar {x}}}$ 为事先计算的算术平均数。

在一些统计软件中，其公式有所差别。如EXCEL，计算样本的峰度公式如下：

${\displaystyle {\text{Kurtosis}}={n(n+1) \over (n-1)(n-2)(n-3)}\sum _{i=1}^{n}({x_{i}-{\bar {x}} \over {\text{StDev}}})^{4}-{3(n-1)^{2} \over (n-2)(n-3)}}$ 

• 偏度
• 中心矩

• Joanes, D. N. & Gill, C. A. (1998) Comparing measures of sample skewness and kurtosis. Journal of the Royal Statistical Society (Series D): The Statistician 47 (1), 183–189. doi:10.1111/1467-9884.00122
• Are the Skewness and Kurtosis Useful Statistics? （页面存档备份，存于互联网档案馆）