一个随机变量 的 阶累积量 可以用所谓的累积生成函数来定义
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从上面的观察可知,累积量可以通过对生成函数 (在0处)进行求导得到。也就是说,累积量是 的麦克劳林级数的系数。
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如果使用 (没有中心化)的 阶矩 和矩生成函数则可以定义:
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使用形式幂级数定义的对数函数:
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随机变量的累积量和随机变量的矩密切相关。比如说,随机变量X有期望 和方差 ,那么它们也是前两阶的累积量: 。
要注意有时候 阶矩会用角括号来表示: ,累积量则用下标 的角括号表示: 。
如果随机变量的矩生成函数不存在,那么可以通过后面对于累积量与矩之间的关系的讨论定义累积量。
有些作者[1][2]偏向于定义累积生成函数为随机变量的特征函数诱导的自然对数。这种定义下的累积生成函数也被称为随机变量的第二类特征函数[3][4]。
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