负二项分布

若每次伯努利试验有两种可能的结果，分别为成功或者失败。在每次试验中，成功的概率为${\displaystyle p}$ ，失败的概率为${\displaystyle 1-p}$ 。反复进行该伯努利试验，直到观察到第${\displaystyle r}$ 次成功发生。此时试验失败次数${\displaystyle X}$ 的分布即为负二项分布（或称帕斯卡分布），那么：

若随机变量${\displaystyle {\mathit {X}}}$ 服从参数为${\displaystyle {\mathit {r}}}$ 和${\displaystyle {\mathit {p}}}$ 的负二项分布，则记为${\displaystyle X\sim NB(r,p)}$ .

在实际生活中，我们可以使用负二项分布描述某种机器在坏掉前，能够工作的天数的分布。此时，“成功”的事件可以指机器正常工作一天，“失败”的事件可以指机器故障的一天。如果我们使用负二项分布来描述运动员在获取r个奖牌前尝试的次数的分布，此时，“失败”的事件指运动员的一次尝试，“成功”的事件指运动员获取一枚奖牌。如果使用负二项分布来描述掷一枚硬币出现r次正面前，出现硬币反面的次数的分布，“成功”的事件指出现硬币的正面，“失败”的事件指出现硬币的反面。

帕斯卡分布

当 ${\displaystyle r}$  是整数时的负二项分布又称帕斯卡分布，其概率质量函数为：

${\displaystyle f(k;r,p)\equiv \Pr(X=k)={\binom {k+r-1}{r-1}}p^{r}(1-p)^{k}\quad {\text{for }}k=0,1,2,\dotsc }$ 

其中 ${\displaystyle k}$  是失败的次数， ${\displaystyle r}$  是成功的次数， ${\displaystyle p}$  是事件成功的概率。在负二项分布的概率质量函数中，由于 ${\displaystyle k+r}$  次伯努利试验为独立同分布，每个成功 ${\displaystyle r}$  次、失败 ${\displaystyle k}$  次的事件的概率为${\displaystyle (1-p)^{k}p^{r}}$ 。由于第r次成功一定是最后一次试验，所以应该在${\displaystyle k+r-1}$ 次试验中选择${\displaystyle r-1}$ 次成功，使用排列组合二项系数获取所有可能的选择数。

二项系数与负二项名称来源

括号中为二项式系数表达式：

${\displaystyle {\binom {k+r-1}{r-1}}={\frac {(k+r-1)!}{(k)!\,(r-1)!}}={\frac {(k+r-1)(k+r-2)\dotsm (r)}{(k)!}}}$ 

该表达式可以写成带负值参数的二项系数的形式，如下式所示，解释了“负二项”名称的来源：

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {(k+r-1)\dotsm (r)}{k!}}\\[6pt]={}&(-1)^{k}{\frac {(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm (-r-k+1)}{k!}}=(-1)^{k}{\binom {-r}{k}}.\end{aligned}}}$ 

概率质量函数对所有可能k值求和为1

帕斯卡分布概率质量函数${\displaystyle f(k;r,p)}$ 对所有可能 ${\displaystyle k}$  值求和，一定等于1：

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {k+r-1}{k}}p^{r}q^{k}=1}$ 

证明如下：

${\displaystyle 1=p^{r}p^{-r}=p^{r}(1-q)^{-r}=p^{r}\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-r}{k}}(-q)^{k}=p^{r}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {-r}{k}}q^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {k+r-1}{k}}p^{r}q^{k}}$ 

其中第三步用到了二项序列展开。

几何分布

取${\displaystyle r=1}$ ，负二项分布等于几何分布。其概率质量函数为${\displaystyle f(k;1,p)=p\cdot (1-p)^{k}\!}$ 。

例子

举例说，若我们掷骰子，掷到一即视为成功。则每次掷骰的成功率是${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ 。要掷出三次一，所需的掷骰次数属于集合{ 3, 4, 5, 6, ... }。掷到三次一的掷骰次数是负二项分布的随机变量。要在第三次掷骰时，掷到第三次一，则之前两次都要掷到一，其概率为${\displaystyle ({\frac {1}{6}})^{3}}$ 。注意掷骰是伯努利试验，之前的结果不影响随后的结果。

若要在第四次掷骰时，掷到第三次一，则之前三次之中要有刚好两次掷到一，在三次掷骰中掷到2次1的概率为${\displaystyle {3 \choose 3-1}\left({5 \over 6}\right)\left({1 \over 6}\right)^{2}}$ 。第四次掷骰要掷到一，所以要将前面的概率再乘${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ ：${\displaystyle {(1+3)-1 \choose 3-1}\left({1 \over 6}\right)^{3}\left({5 \over 6}\right)}$ 。

几何分布（在 { 0, 1, 2, 3, ... } 上）是负二项分布的一个特例，其中

${\displaystyle \operatorname {Geom} (p)=\operatorname {NB} (1,\,1-p).\,}$ 

• 负二项分布是离散相型分布（英语：Discrete phase-type distribution）的一个特例。
• 负二项分布是离散复合泊松分布的一个特例。

• 二项式分布
• 几何分布