在概率论和统计学中,二项分布(英语:Binomial distribution)是个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布,其中每次试验的成功概率为。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上,当时,二项分布就是伯努利分布。二项分布是显著性差异的二项试验的基础。
二项分布
概率质量函数 |
累积分布函数 |
记号 |
B(n, p) |
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参数 |
试验次数 (整数) 成功概率 (实数) |
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值域 |
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概率质量函数 |
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累积分布函数 |
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期望值 |
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中位数 |
之一 |
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众数 |
或 |
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方差 |
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偏度 |
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峰度 |
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熵 |
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矩生成函数 |
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特征函数 |
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详述
概率质量函数
一般来说,若随机变量 服从参数为 和 的二项分布,我们记作 或 。n次试验中正好得到k次成功的概率由概率质量函数给出:
-
对于 ,其中
是二项式系数(这就是二项分布的名称的由来),又记为 , ,或 。该公式可以用以下方法理解:我们希望有 次成功( )和 次失败 。然而, 次成功可以在 次试验的任何地方出现,而把 次成功分布在 次试验中共有 个不同的方法。
在制造二项分布概率的参考表格时,通常表格中只填上 个值。这是因为 时的概率可以从它的补集计算出:
-
因此,我们要看另外一个 和另外一个 (二项分布一般不是对称的)。然而,它的表现不是任意的。总存在一个整数 ,满足:
-
作为 的函数,表达式 当 时单调递增, 时单调递减,只有当 是整数时例外。在这时,有两个值使 达到最大: 和 。 是伯努利试验的最可能的结果,称为众数。注意它发生的概率可以很小。
累积分布函数(概率分布函数)
累积分布函数可以表示为:
-
其中 是小于或等于 的最大整数。
它也可以用正则化不完全贝塔函数来表示:
-
期望和方差
如果 (也就是说, 是服从二项分布的随机变量),那么 的期望值为
-
方差为
-
这个事实很容易证明。首先假设有一个伯努利试验。试验有两个可能的结果:1和0,前者发生的概率为 ,后者的概率为 。该试验的期望值等于 。该试验的方差也可以类似地计算: .
一般的二项分布是 次独立的伯努利试验的和。它的期望值和方差分别等于每次单独试验的期望值和方差的和:
-
众数和中位数
通常二项分布 的众数等于 ,其中 是取整函数。然而,当 是整数且 不等于0或1时,分布有两个众数: 和 。当 等于0或1时,众数相应地等于0或 。这些情况可以综述如下:
-
一般地,没有一个单一的公式可以求出二项分布的中位数,甚至中位数可能是不唯一的。然而有几个特殊的结果:
- 如果 是整数,那么平均数、中位数和众数相等,都等于 。[1][2]
- 任何中位数 都位于区间 内。[3]
- 中位数 不能离平均数太远: 。[4]
- 如果 ,或 ,或 (除了 、 是奇数的情况以外),那么中位数是唯一的,且等于 。[3][4]
- 如果 ,且 是奇数,那么区间 中的任何数 都是二项分布的中位数。如果 且 是偶数,那么 是唯一的中位数。
两个二项分布的协方差
如果有两个服从二项分布的随机变量 和 ,我们可以求它们的协方差。利用协方差的定义,当 时我们有
-
第一项仅当 和 都等于1时非零,而 和 分别为 和 的概率。定义 为 和 都等于1的概率,便得到
-
对于n次独立的试验,我们便有
-
如果 和 是相同的变量,便化为上面的方差公式。
与其他分布的关系
二项分布的和
如果 和 ,且 和 相互独立,那么 也服从二项分布;它的分布为
-
伯努利分布
伯努利分布是二项分布在 时的特殊情况。 与 的意思是相同的。相反,任何二项分布 都是 次独立伯努利试验的和,每次试验成功的概率为 。
泊松二项分布
二项分布是泊松二项分布的一个特殊情况。泊松二项分布是 次独立、不相同的伯努利试验( )的和。如果 服从泊松二项分布,且 ,那么 。
正态近似
、
时的
二项分布以及
正态近似
如果 足够大,那么分布的偏度就比较小。在这种情况下,如果使用适当的连续性校正,那么 的一个很好的近似是正态分布:
-
-
越大(至少30),近似越好,当 不接近0或1时更好。[5]不同的经验法则可以用来决定 是否足够大,以及 是否距离0或1足够远:
- 一个规则是 和 都必须大于5。
泊松近似
当试验的次数趋于无穷大,而乘积 固定时,二项分布收敛于泊松分布。因此参数为 的泊松分布可以作为二项分布 的近似,如果 足够大,而 足够小。[6]
极限
- 当 趋于 , 趋于0,而 固定于 ,或至少 趋于 时,二项分布 趋于期望值为λ的泊松分布。
- 当 趋于 而 固定时,
-
- 的分布趋于期望值为 0、方差为 1的正态分布。这个结果是中心极限定理的一个特殊情况。
例子
一个简单的例子如下:掷一枚骰子十次,那么掷得4的次数就服从 、 的二项分布。
参见
参考文献
- ^ Neumann, P. Über den Median der Binomial- and Poissonverteilung. Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Universität Dresden. 1966, 19: 29–33 (德语).
- ^ Lord, Nick. (July 2010). "Binomial averages when the mean is an integer", The Mathematical Gazette 94, 331-332.
- ^ 3.0 3.1 Kaas, R.; Buhrman, J.M. Mean, Median and Mode in Binomial Distributions. Statistica Neerlandica. 1980, 34 (1): 13–18. doi:10.1111/j.1467-9574.1980.tb00681.x.
- ^ 4.0 4.1 Kais Hamza. The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions. Statistics & Probability Letters: 21–25. [2018-04-02]. doi:10.1016/0167-7152(94)00090-u. (原始内容存档于2020-12-15). (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- ^ Box, Hunter and Hunter. Statistics for experimenters. Wiley. 1978: 130.
- ^ NIST/SEMATECH, "6.3.3.1. Counts Control Charts" (页面存档备份,存于互联网档案馆), e-Handbook of Statistical Methods.