伯努利分布 伯努利分布(英语:Bernoulli distribution),又名两点分布或者0-1分布,是一个离散型概率分布,为纪念瑞士科学家雅各布·伯努利而命名。若伯努利试验成功,则伯努利随机变量取值为1。若伯努利试验失败,则伯努利随机变量取值为0。记其成功概率为 p ( 0 ≤ p ≤ 1 ) {\displaystyle p(0\leq p\leq 1)} ,失败概率为 q = 1 − p {\displaystyle q=1-p} 。[1]则 其概率质量函数为: f X ( x ) = p x ( 1 − p ) 1 − x = { p if x = 1 , q if x = 0. {\displaystyle f_{X}(x)=p^{x}(1-p)^{1-x}=\left\{{\begin{matrix}p&{\mbox{if }}x=1,\\q\ &{\mbox{if }}x=0.\\\end{matrix}}\right.} 其期望值为: E [ X ] = ∑ i = 0 1 x i f X ( x ) = 0 + p = p {\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{i=0}^{1}x_{i}f_{X}(x)=0+p=p} 其方差为: Var [ X ] = ∑ i = 0 1 ( x i − E [ X ] ) 2 f X ( x ) = ( 0 − p ) 2 ( 1 − p ) + ( 1 − p ) 2 p = p ( 1 − p ) = p q {\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\sum _{i=0}^{1}(x_{i}-\operatorname {E} [X])^{2}f_{X}(x)=(0-p)^{2}(1-p)+(1-p)^{2}p=p(1-p)=pq} 伯努利分布参数 1 > p > 0 {\displaystyle 1>p>0\,} (实数)值域 k = { 0 , 1 } {\displaystyle k=\{0,1\}\,} 概率质量函数 q for k = 0 p for k = 1 {\displaystyle {\begin{matrix}q&{\mbox{for }}k=0\\p~~&{\mbox{for }}k=1\end{matrix}}} 累积分布函数 0 for k < 0 q for 0 ≤ k < 1 1 for k ≥ 1 {\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{for }}k<0\\q&{\mbox{for }}0\leq k<1\\1&{\mbox{for }}k\geq 1\end{matrix}}} 期望值 p {\displaystyle p\,} 中位数 N/A众数 0 if q > p 0 , 1 if q = p 1 if q < p {\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{if }}q>p\\0,1&{\mbox{if }}q=p\\1&{\mbox{if }}q<p\end{matrix}}} 方差 p q {\displaystyle pq\,} 偏度 q − p p q {\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}} 峰度 6 p 2 − 6 p + 1 p ( 1 − p ) {\displaystyle {\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}} 熵 − q ln ( q ) − p ln ( p ) {\displaystyle -q\ln(q)-p\ln(p)\,} 矩生成函数 q + p e t {\displaystyle q+pe^{t}\,} 特征函数 q + p e i t {\displaystyle q+pe^{it}\,} 参考文献 ^ Sheldon M Ross. 《Introduction to probability and statistics for engineers and scientists》. Academic Press. 2009: 第141页. ISBN 9780123704832. 参见 概率论 伯努利试验 伯努利过程 概率分布