取整函数

对于高斯符号，有如下性质。

• 按定义：

  ${\displaystyle [x]\leq x<[x]+1}$  当且仅当x为整数时取等号。

• 设x和n为正实数，则：

  ${\displaystyle \left[{\frac {n}{x}}\right]\geq {\frac {n}{x}}-{\frac {x-1}{x}}}$ 

• 当n为正整数时，有：

  ${\displaystyle \left\lbrack {\frac {x}{n}}\right\rbrack ={\frac {x-x{\bmod {n}}}{n}},}$  其中${\displaystyle x{\bmod {n}}}$ 表示${\displaystyle x}$ 除以${\displaystyle n}$ 的余数。

• 对任意的整数k和任意实数x，

  ${\displaystyle [{k+x}]=k+[x].}$ 

• 一般的数值修约规则可以表述为将x映射到floor(x + 0.5)；
• 高斯符号不是连续函数，但是上半连续的。作为一个分段的常数函数，在其导数有定义的地方，高斯符号导数为零。
• 设x为一个实数，n为整数，则由定义，n ≤ x当且仅当n ≤ floor(x)。
• 当x是正数时，有：

  ${\displaystyle \left\lbrack 2x\right\rbrack -2\left\lbrack x\right\rbrack \leqslant 1}$ 

• 用高斯符号可以写出若干个素数公式，但没有什么实际价值，见§ 素数公式。
• 对于非整数的x，高斯符号有如下的傅里叶级数展开：

  ${\displaystyle [x]=x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.}$ 

• 根据Beatty定理，每个正无理数都可以通过高斯符号制造出一个整数集的分划。
• 最后，对于每个正整数k，其在 p 进制下的表示有 ${\displaystyle [\log _{p}(k)]+1}$  个数位。

函数间之关系

由上下取整函数的定义，可见

${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil ,}$ 

等号当且仅当${\displaystyle x}$ 为整数，即

${\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0,&{\text{ 若 }}\ x\in \mathbb {Z} ,\\1,&{\text{ 若 }}\ x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$ 

实际上，上取整与下取整函数作用于整数${\displaystyle n}$ ，效果等同恒等函数：

${\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.}$ 

自变量加负号，相当于将上取整与下取整互换，外面再加负号，即：

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil &=0,\\-\lfloor x\rfloor &=\lceil -x\rceil ,\\-\lceil x\rceil &=\lfloor -x\rfloor .\end{aligned}}}$ 

且：

${\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0,&{\text{ 若 }}\ x\in \mathbb {Z} ,\\-1,&{\text{ 若 }}\ x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}}$ 

${\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0,&{\text{ 若 }}\ x\in \mathbb {Z} ,\\1,&{\text{ 若 }}\ x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$ 

至于小数部分${\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor }$ ，自变量取相反数会使小数部分变成关于1的“补码”：

${\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0,&{\text{ 若 }}\ x\in \mathbb {Z} ,\\1,&{\text{ 若 }}\ x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$ 

上取整、下取整、小数部分皆为幂等函数，即函数迭代两次的结果等于自身：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\Big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor ,\\{\Big \lceil }\lceil x\rceil {\Big \rceil }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \{}\{x\}{\Big \}}&=\{x\}.\end{aligned}}}$ 

而多个上取整与下取整依次迭代的效果，相当于最内层一个：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lceil x\rceil {\Big \rfloor }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \lceil }\lfloor x\rfloor {\Big \rceil }&=\lfloor x\rfloor ,\end{aligned}}}$ 

因为外层取整函数实际衹作用在整数上，不带来变化。

商

若${\displaystyle m}$ 和${\displaystyle n}$ 为正整数，且${\displaystyle n\neq 0}$ ，则

${\displaystyle 0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.}$ 

若${\displaystyle n}$ 为正整数，则^[3]

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,}$ 

${\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .}$ 

若${\displaystyle m}$ 为正数，则^[4]

${\displaystyle n=\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil ,}$ 

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .}$ 

代${\displaystyle m=2}$ ，上式推出：

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil .}$ 

更一般地，对正整数${\displaystyle m}$ ，有埃尔米特恒等式（英语：Hermite's identity）：^[5]

${\displaystyle \lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil ,}$ 

${\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .}$ 

对于正整数${\displaystyle m}$ ，以下两式可将上下取整函数互相转化：^[6]

${\displaystyle \left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,}$ 

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1.}$ 

对任意正整数${\displaystyle m}$ 和${\displaystyle n}$ ，有：^[7]

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)+\gcd(m,n)-1}{2}},}$ 

作为特例，当${\displaystyle m}$ 和${\displaystyle n}$ 互素时，上式简化为

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {1}{2}}(m-1)(n-1).}$ 

此等式可以几何方式证明。又由于右式关于${\displaystyle m}$ 、${\displaystyle n}$ 对称，可得

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {m}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor .}$ 

更一般地，对正整数${\displaystyle m,n}$ ，有

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor \\=&\left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}}$ 

上式算是一种“互反律”（reciprocity law）^[7]，与§ 二次互反律有关。

二次互反律

高斯给出二次互反律的第三个证明，经艾森斯坦修改后，有以下两个主要步骤。^[8][9]

设${\displaystyle p}$ 、${\displaystyle q}$ 为互异奇素数，又设

${\displaystyle m={\frac {p-1}{2}},}$  ${\displaystyle n={\frac {q-1}{2}}.}$ 

首先，利用高斯引理，证明勒让德符号可表示为和式：

${\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor },}$ 

同样

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }.}$ 

其后，采用几何论证，证明

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn.}$ 

总结上述两步，得

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$ 

此即二次互反律。一些小整数模奇素数${\displaystyle p}$ 的二次特征标，可以高斯符号表示，如：^[10]

${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor },}$ 

${\displaystyle \left({\frac {3}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }.}$ 

素数公式

下取整函数出现于若干刻画素数的公式之中。举例，因为${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor }$ 在${\displaystyle m}$ 整除${\displaystyle n}$ 时等于${\displaystyle 1}$ ，否则为${\displaystyle 0}$ ，所以正整数${\displaystyle n}$ 为素数当且仅当^[11]

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=2.}$ 

除表示素数的条件外，还可以写出公式使其取值为素数。例如，记第${\displaystyle n}$ 个素数为${\displaystyle p_{n}}$ ，任选一个整数${\displaystyle r>1}$ ，然后定义实数${\displaystyle \alpha }$ 为

${\displaystyle \alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.}$ 

则衹用取整、幂、四则运算可以写出素数公式：^[12]

${\displaystyle p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .}$ 

类似还有米尔斯常数${\displaystyle \theta =1.3064\ldots }$ ，使

${\displaystyle \left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots }$ 

皆为素数。^[13]

若不迭代三次方函数，改为迭代以${\displaystyle 2}$ 为㡳的指数函数，亦有${\displaystyle \omega =1.9287800\ldots }$ 使

${\displaystyle \left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots }$ 

皆为素数。^[13]

以素数计算函数${\displaystyle \pi (x)}$ 表示小于或等于${\displaystyle x}$ 的素数个数。由威尔逊定理，可知^[14]

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor \right\rfloor .}$ 

又或者，当${\displaystyle n\geq 2}$ 时：^[15]

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {1}{\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }}\right\rfloor .}$ 

本小节的公式未有任何实际用途。^[16][17]

• 对于所有实数x，有：

  ${\displaystyle \left\lbrack {\frac {x}{2}}\right\rbrack ={\frac {1}{4}}((-1)^{[x]}-1+2[x])}$ 

  ${\displaystyle \left\lbrack {\frac {x}{3}}\right\rbrack ={\frac {-2}{\sqrt {3}}}\sin({\frac {2\pi }{3}}[x]+{\frac {\pi }{3}})+1}$ 

• 设x为一个实数，n为整数，则

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}E(x+{\frac {k}{n}})=E(nx)}$ 

${\displaystyle E({\frac {1}{n}}E(nx))=E(x)}$ 

• 对于两个相反数的高斯符号，有：

如果x为整数，则${\displaystyle E(x)+E(-x)=0}$ 

否则${\displaystyle E(x)+E(-x)=-1}$ 

• Crandall, Richard; Pomerance, Carl. Prime Numbers: A Computational Perspective. New York: Springer. 2001 [2022-02-06]. ISBN 0-387-94777-9. （原始内容存档于2022-04-09）. 
• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren. Concrete Mathematics. Reading Ma.: Addison-Wesley. 1994. ISBN 0-201-55802-5. 
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition). Oxford: Oxford University Press. 1980. ISBN 978-0-19-853171-5. 
• Lemmermeyer, Franz. Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein. Berlin: Springer. 2000. ISBN 3-540-66957-4. 
• Ribenboim, Paulo. The New Book of Prime Number Records. New York: Springer. 1996. ISBN 0-387-94457-5.