几何分布

概率论统计学中,几何分布(英语:Geometric distribution)指的是以下两种离散型概率分布中的一种:

  • 伯努利试验中,得到一次成功所需要的试验次数的值域是{ 1, 2, 3, ... }
几何分布
概率质量函数
Geometric pmf.svg
累积分布函数
Geometric cdf.svg
参数 成功概率( 成功概率(
支撑集
概率质量函数 (pmf)
累积分布函数 (cdf)
期望值
中位数 (如果是整数,则中位数不唯一) (如果是整数,则中位数不唯一)
众数
方差
偏度
超值峰度
矩生成函数 (mgf) ,
for
特征函数
  • 在得到第一次成功之前所经历的失败次数Y的值域是{ 0, 1, 2, 3, ... }

实际使用中指的是哪一个取决于惯例和使用方便。

这两种分布不应该混淆。前一种形式(的分布)经常被称作shifted geometric distribution;但是,为了避免歧义,最好明确地说明取值范围。

如果每次试验的成功概率是,那么次试验中,第次才得到成功的概率是,

其中.

上式描述的是取得一次成功所需要的试验次数。而另一种形式,也就是第一次成功之前所失败的次数,可以写为,

其中

两种情况产生的序列都是几何数列。这是几何分布的名字来源。

比如,假设不停地掷骰子,直到得到1。投掷次数是随机分布的,取值范围是无穷集合{ 1, 2, 3, ... },并且是一个的几何分布。

性质

呈几何分布的随机变量X期望值是1/p方差是 (1-p)/p2:

 

几何分布具有非记忆性的性质(Memoryless Property,又称遗失记忆性)

这表示如果一个随机变量呈几何分布,它的条件概率遵循:

 s, t ∈ℕ.

记号

若随机变量 服从参数为 的几何分布,则记为 .

用途

在重复多次的伯努利试验中,试验进行到某种结果出现第一次为止,此时的试验总次数服从几何分布,如:射击,首次击中目标时的次数。

参见