累积量生成函数

随机变数的累积量生成函数κ_nX是定义为：对动差生成函数（动差母函数）取自然对数的函数，如果符合定义，将如下所示：

${\displaystyle g(t)=\log(E(e^{tX}))=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\mu t+\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots }$。

将累积量生成函数g(t)对t等于零之处微分

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{1}&=\mu =g'(0),\\\kappa _{2}&=\sigma ^{2}=g''(0),\\&{}\ \ \vdots \\\kappa _{n}&=g^{(n)}(0).\end{aligned}}}$

累积量生成函数与几率分布的动差值有很强的关联性。假如随机变数X存在期望值μ = E(X)及变异数σ² = E((X − μ)²)，则累积量生成函数g(t)的一阶与二阶微分刚好是上述数值：μ = κ₁及σ² = κ₂。第c个累积量表达的方式为

${\displaystyle \kappa _{n}=\langle X^{n}\rangle _{c}.\,}$

使用累积量生成函数优于动差值的情况在于独立变数X和Y，

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{X+Y}(t)&=\log(E(e^{t\cdot (X+Y)}))=\log(E(e^{tX})\cdot E(e^{tY}))\\&=\log(E(e^{tX}))+\log(E(e^{tY}))=g_{X}(t)+g_{Y}(t).\end{aligned}}}$

如此一来相加累积量的合可表达成累积量的相加，也就是具有加成性。

一个分布的累积量κ_n可以使用Edgeworth series来近似。

有些作者^[1][2]偏好定义累积量生成函数为对特征函数取自然对数，或者有人称为第二特征函数，^[3][4]

${\displaystyle h(t)=\log(E(e^{itX}))=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {(it)^{n}}{n!}}=\mu it-\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots .\,}$

使用此函数的好处在于，即便可能随机变数X是一大变量仍被完整定义。尽管他的累积量生成函数或者是动差母函数是存在的，但在这种情况下，通常不允许被展开成累积量生成函数或者是动差母函数而表达成线性级数数列的模式。Cauchy distribution（也称作Lorentzian）和stable distribution（与“Lévy distribution”有关）是生成函数无法被展开的两个例子。