矩 (数学)

设随机变量（或统计量，下同）${\displaystyle X}$ 的概率密度函数为${\displaystyle f(x)}$ 。

对于离散型随机变量，在存在的前提下，其相对于值${\displaystyle c}$ 的${\displaystyle n}$ 阶矩为：

${\displaystyle \mu _{n}=\sum \limits _{i=1}^{\infty }(x_{i}-c)^{n}P(x_{i})}$ 

对于连续型随机变量，在存在的前提下，其相对于值${\displaystyle c}$ 的${\displaystyle n}$ 阶矩为：

${\displaystyle \mu _{n}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{n}\,f(x)\,dx}$ 

特别地，当${\displaystyle c=0}$ 时称之为原点矩，当${\displaystyle c=E(X)}$ 时称之为中心矩。

随机变量的期望値定义为其1阶原点矩：

${\displaystyle E(x)=\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx}$ 

在方差等定义中，期望值也称为随机变量的“中心”。显然，任何随机变量的1阶中心矩为0。

随机变量的方差定义为其2阶中心矩：

${\displaystyle \operatorname {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }\left[x-E(x)\right]^{2}\,f(x)\,dx}$ 

随机变量的偏态定义为其3阶中心矩：

${\displaystyle S(x)=\int _{-\infty }^{\infty }[x-E(x)]^{3}\,f(x)\,dx}$ 

随机变量的峰态定义为其4阶中心矩：

${\displaystyle K(x)=\int _{-\infty }^{\infty }[x-E(x)]^{4}\,f(x)\,dx}$ 

矩常常通过样本矩

${\displaystyle \mu '_{n}\approx {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{n}}$ 

来估计。此方法不需要先估计其概率分布。

• 中心矩
• 矩生成函数
• 力矩

• Mathworld Website （页面存档备份，存于互联网档案馆）