相关 (概率论)

英国生物学家和统计学家弗朗西斯·高尔顿首先提出“相关”这一概念，英国数学家卡尔·皮尔逊在此基础上做出了进一步发展。

对于不同测量尺度的变量，有不同的相关系数可用：

• 皮尔逊相关系数（Pearson's r）：衡量两个等距尺度或等比尺度变量之相关性。是最常见的，也是学习统计学时第一个接触的相关系数。
• 净相关（英语：partial correlation）：在模型中有多个自变量（或解释变量）时，去除掉其他自变量的影响，只衡量特定一个自变量与因变量之间的相关性。自变量和因变量皆为连续变量。
• 相关比（英语：correlation ratio）：衡量两个连续变量之相关性。

• Gamma相关系数：衡量两个次序尺度变量之相关性。
• 斯皮尔曼等级相关系数：衡量两个次序尺度变量之相关性。
• 肯德尔等级相关系数（英语：Kendall rank correlation coefficient）：衡量两个人为次序尺度变量（原始资料为等距尺度）之相关性。
• 肯德尔和谐系数：衡量两个次序尺度变量之相关性。

• Phi相关系数（英语：Phi coefficient）：衡量两个真正名目尺度的二分变量之相关性。
• 列联相关系数（英语：contingency coefficient）：衡量两个真正名目尺度变量之相关性。
• 四分相关（英语：tetrachoric correlation）：衡量两个人为名目尺度（原始资料为等距尺度）的二分变量之相关性。
• Kappa一致性系数（英语：K coefficient of agreement）：衡量两个名目尺度变量之相关性。

• 点二系列相关系数（英语：point-biserial correlation）：X变量是真正名目尺度二分变量。Y变量是连续变量。
• 二系列相关系数（英语：biserial correlation）：X变量是人为名目尺度二分变量。Y变量是连续变量。

数学特征

${\displaystyle \rho _{X,Y}={\mathrm {cov} (X,Y) \over \sigma _{X}\sigma _{Y}}={E((X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})) \over \sigma _{X}\sigma _{Y}}}$ ，

其中，E是数学期望，cov表示协方差，${\displaystyle \sigma _{X}}$ 和${\displaystyle \sigma _{Y}}$ 是标准差。

因为${\displaystyle \mu _{X}=E(X)}$ ，${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=E(X^{2})-E^{2}(X)}$ ，同样地，对于${\displaystyle Y}$ ，可以写成

${\displaystyle \rho _{X,Y}={\frac {E(XY)-E(X)E(Y)}{{\sqrt {E(X^{2})-E^{2}(X)}}~{\sqrt {E(Y^{2})-E^{2}(Y)}}}}}$ 。

当两个变量的标准差都不为零，相关系数才有定义。从柯西-施瓦茨不等式可知，相关系数的绝对值不超过1。当两个变量的线性关系增强时，相关系数趋于1或-1。当一个变量增加而另一变量也增加时，相关系数大于0。当一个变量的增加而另一变量减少时，相关系数小于0。当两个变量独立时，相关系数为0，但反之并不成立。这是因为相关系数仅仅反映了两个变量之间是否线性相关。比如说，X是区间［－1，1］上的一个均匀分布的随机变量。Y = X².那么Y是完全由X确定。因此Y和X不独立，但相关系数为0。或者说他们是不相关的。当Y和X服从联合正态分布时，其相互独立和不相关是等价的。

当一个或两个变量带有测量误差时，他们的相关性就受到削弱，这时，“反衰减”性（disattenuation）是一个更准确的系数。

几何特征

对于居中的数据来说（何谓居中？也就是每个数据减去样本均值，居中后它们的平均值就为0），相关系数可以看作是两个随机变量中得到的样本集向量之间夹角的cosine函数。一些实际工作者更喜欢用非居中的相关系数（与皮尔逊系数不相兼容）。看下面的例子中有一个比较。例如，假设五个国家的国民生产总值分别是1、2、3、5、8（单位10亿美元），又假设这五个国家的贫困比例分别是11%、12%、13%、15%、18%。则我们现在有两个有序的包含5个元素的向量x、y：x =（1, 2, 3, 5, 8）、 y =（0.11, 0.12, 0.13, 0.15, 0.18） 使用一般的方法来计算向量间夹角（参考数量积），未居中的相关性系数如下：

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{\left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|}}={\frac {2.93}{{\sqrt {103}}{\sqrt {0.0983}}}}=0.920814711}$ 。

上面的数据实际上是故意选择了一个完美的线性关系：y = 0.10 + 0.01 x。因此皮尔逊相关系数应该就是1。把数据居中（x中数据减去E (x) = 3.8，y中数据减去E (y) = 0.138）后得到：x =（−2.8, −1.8, −0.8, 1.2, 4.2）、y =（−0.028, −0.018, −0.008, 0.012, 0.042），由此得到了预期结果：

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{\left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|}}={\frac {0.308}{{\sqrt {30.8}}{\sqrt {0.00308}}}}=1=\rho _{xy}}$ ，

样本相关系数

对于样本对${\displaystyle (X_{i},Y_{i})}$ ，相关系数的计算过程可表示为：将每个变量都通过减去平均值、再除以校正标准差后转化为标准单位，乘积的平均值，再经过贝塞尔校正（英语：Bessel's correction）即为相关系数^[1]。

两个变量的关系可以直观地用散点图表示，当其紧密地群聚于一条直线的周围时，变量间存在强相关^[2]。

一个散点图可以用五个统计量来概括：所有${\displaystyle x}$ 值的平均数${\displaystyle {\bar {x}}}$ ，所有${\displaystyle x}$ 值的校正标准差（即样本标准差）${\displaystyle s_{x}}$ ，所有${\displaystyle y}$ 值的平均数${\displaystyle {\bar {y}}}$ ，所有${\displaystyle y}$ 值的校正标准差${\displaystyle s_{y}}$ ，相关系数${\displaystyle r_{xy}}$ 。

其中：

${\displaystyle s_{x}={\sqrt {{\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}},s_{y}={\sqrt {{\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}}}$ 

那么：

${\displaystyle r_{xy}\quad {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\quad {\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{(n-1)s_{x}s_{y}}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{\sqrt {\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\sum \limits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}},}$ 

或写成：

${\displaystyle r_{xy}\quad {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\quad {\frac {n}{n-1}}{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {(x_{i}-{\bar {x}})}{s_{x}}}{\frac {(y_{i}-{\bar {y}})}{s_{y}}}}$ ,

其中${\displaystyle {\frac {n}{n-1}}}$ 为贝塞尔校正（英语：Bessel's correction）。

• 相关不蕴涵因果
• 相关系数