数学上,柯西-施瓦茨不等式,又称施瓦茨不等式或柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式,是一条很多场合都用得上的不等式;例如线性代数的矢量,数学分析的无穷级数和乘积的积分,和概率论的方差和协方差。它被认为是最重要的数学不等式之一。它有一些推广,如赫尔德不等式。
不等式以奥古斯丁·路易·柯西(Augustin Louis Cauchy),赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨(Hermann Amandus Schwarz),和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基(Виктор Яковлевич Буняковский)命名。
叙述
对于一个内积空间中的向量 和 ,有
- 。
其中 表示内积,也叫点积。等价地,将两边开方,等式右边即可以写为两向量范数乘积的形式。
-
另外,当且仅当x和y线性相关时,等式成立(仅两个向量而言,线性相关等同于平行)。
若 和 有虚部,内积即为标准内积。如果用拔(bar,上划线)标记共轭复数,这个不等式可以更明确地表述为
-
由柯西—施瓦茨不等式可以推得一个重要结果:内积是连续的,甚至满足一阶利普希茨条件。
特例
- 。
等式成立时:
-
也可以表示成
证明则须考虑一个关于 的一个一元二次方程式
很明显的,此方程式无实数解或有重根,故其判别式
注意到
⇒
则
即
而等号成立于判别式 时
也就是此时方程式有重根,故
- 。
这两例可更一般化为赫尔德不等式。
- 在3维空间,有一个较强结果值得注意:原不等式可以增强至拉格朗日恒等式
- 。
- 这是
-
- 在n=3 时的特殊情况。
矩阵不等式
设 为列向量,则 [a]
- 时不等式成立,设 非零, ,则
-
-
- 等号成立 与 线性相关
设 为 Hermite阵,且 ,则
- 存在 ,设
-
-
-
- 等号成立 与 线性相关
设 为 Hermite阵,且 ,则
- 存在 ,设
-
-
-
- 等号成立 与 线性相关[1]
若 ,则 [2]
复变函数中的柯西不等式
设 在区域 及其边界上解析, 为 内一点,以 为圆心做圆周 ,只要 及其内部 均被 包含,则有:
其中,M是 的最大值,
。
其它推广
[3]
[4]
参见
注释
- ^ 表示x的共轭转置。
参考资料
- ^ 王松桂. 矩阵不等式-(第二版).
- ^ 程伟丽 齐静. Cauchy不等式矩阵形式的推广. 郑州轻工业学院学报(自然科学版). 2008, (4) [2015-03-24]. (原始内容存档于2019-06-08).
- ^ 赵明方. Cauchy不等式的推广. 四川师范大学学报(自然科学版). 1981, (2) [2015-03-24]. (原始内容存档于2019-06-03).
- ^ 洪勇. 推广的Cauchy不等式的再推广. 曲靖师范学院学报. 1993, (S1) [2015-03-24]. (原始内容存档于2019-06-03).