柯西-施瓦茨不等式

对于一个内积空间中的向量${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ ，有

${\displaystyle {\big |}\langle x,y\rangle {\big |}^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle }$ 。

其中${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ 表示内积，也叫点积。等价地，将两边开方，等式右边即可以写为两向量范数乘积的形式。

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|.\,}$ 

另外，当且仅当x和y线性相关时，等式成立（仅两个向量而言，线性相关等同于平行）。

若${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {C} }$ 和${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}\in \mathbb {C} }$ 有虚部，内积即为标准内积。如果用拔（bar，上划线）标记共轭复数，这个不等式可以更明确地表述为

${\displaystyle |x_{1}{\bar {y}}_{1}+\cdots +x_{n}{\bar {y}}_{n}|^{2}\leq (|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2})(|y_{1}|^{2}+\cdots +|y_{n}|^{2}).}$ 

由柯西—施瓦茨不等式可以推得一个重要结果：内积是连续的，甚至满足一阶利普希茨条件。

• 对欧几里得空间Rⁿ，有

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)}$ 。

等式成立时：

${\displaystyle {\frac {x_{1}}{y_{1}}}={\frac {x_{2}}{y_{2}}}=\cdots ={\frac {x_{n}}{y_{n}}}.}$ 

也可以表示成

${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}}$ 

证明则须考虑一个关于${\displaystyle t}$ 的一个一元二次方程式 ${\displaystyle (x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}=0}$ 

很明显的，此方程式无实数解或有重根，故其判别式${\displaystyle D\leq 0}$ 

注意到

${\displaystyle (x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}\geq 0}$ 

⇒${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})t^{2}+2(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})t+(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq 0}$ 

则

${\displaystyle D=4(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}-4(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\leq 0}$ 

即

${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}}$ 

${\displaystyle (x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}=0}$ 

${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}}$ 

而等号成立于判别式${\displaystyle D=0}$ 时

也就是此时方程式有重根，故

${\displaystyle {\frac {x_{1}}{y_{1}}}={\frac {x_{2}}{y_{2}}}=\cdots ={\frac {x_{n}}{y_{n}}}.}$ 

• 对平方可积的复值函数，有

${\displaystyle \left|\int f(x)g(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx}$ 。

这两例可更一般化为赫尔德不等式。

• 在3维空间，有一个较强结果值得注意：原不等式可以增强至拉格朗日恒等式

${\displaystyle \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle =|\langle x,y\rangle |^{2}+|x\times y|^{2}}$ 。

这是

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)-\left(\sum _{1\leq i<j\leq n}(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i})^{2}\right)}$ 

在n=3 时的特殊情况。

设${\displaystyle x,y}$ 为列向量，则${\displaystyle |x^{*}y|^{2}\leq x^{*}x\cdot y^{*}y}$ ^[a]

${\displaystyle x=0}$  时不等式成立，设${\displaystyle x}$ 非零，${\displaystyle z=y-{\cfrac {y^{*}x}{\|x\|^{2}}}x}$ ，则${\displaystyle x^{*}z=0}$ 

${\displaystyle 0\leq \|z\|^{2}=z^{*}y=\|y\|^{2}-{\cfrac {x^{*}y}{\|x\|^{2}}}x^{*}y=\|y\|^{2}-{\cfrac {|x^{*}y|^{2}}{\|x\|^{2}}}}$ 

${\displaystyle |x^{*}y|^{2}\leq \|x\|^{2}\|y\|^{2}}$ 

等号成立${\displaystyle \Leftrightarrow z=0\Leftrightarrow y}$ 与${\displaystyle x}$ 线性相关

设${\displaystyle A}$ 为${\displaystyle n\times n}$ Hermite阵，且${\displaystyle A\geq 0}$ ，则${\displaystyle |x^{*}Ay|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}Ay}$ 

存在${\displaystyle A^{1/2}}$ ，设${\displaystyle u=A^{1/2}x,v=A^{1/2}y}$ 

${\displaystyle |u^{*}v|^{2}\leq u^{*}u\cdot v^{*}v}$ 

${\displaystyle |x^{*}A^{1/2}A^{1/2}y|^{2}\leq x^{*}A^{1/2}A^{1/2}x\cdot y^{*}A^{1/2}A^{1/2}y}$ 

${\displaystyle |x^{*}Ay|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}Ay}$ 

等号成立${\displaystyle \Leftrightarrow y}$ 与${\displaystyle x}$ 线性相关

设${\displaystyle A}$ 为${\displaystyle n\times n}$ Hermite阵，且${\displaystyle A>0}$ ，则${\displaystyle |x^{*}y|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}A^{-1}y}$ 

存在${\displaystyle A^{1/2},A^{-1/2}}$ ，设${\displaystyle u=A^{1/2}x,v=A^{-1/2}y}$ 

${\displaystyle |u^{*}v|^{2}\leq u^{*}u\cdot v^{*}v}$ 

${\displaystyle |x^{*}A^{1/2}A^{-1/2}y|^{2}\leq x^{*}A^{1/2}A^{1/2}x\cdot y^{*}A^{-1/2}A^{-1/2}y}$ 

${\displaystyle |x^{*}y|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}A^{-1}y}$ 

等号成立${\displaystyle \Leftrightarrow x}$ 与${\displaystyle A^{-1}y}$ 线性相关^[1]

若${\displaystyle \displaystyle q_{i}\geq 0,\sum _{i}q_{i}=1}$ ，则${\displaystyle \displaystyle (x^{*}A^{\sum _{i}a_{i}q_{i}}x)\leq \prod _{i}(x^{*}A^{a_{i}}x)^{q_{i}}}$ ^[2]

设 ${\displaystyle f(z)}$ 在区域${\displaystyle D}$ 及其边界上解析，${\displaystyle a}$  为${\displaystyle D}$ 内一点，以${\displaystyle a}$ 为圆心做圆周 ${\displaystyle C_{R}:|z-a|=R}$ ，只要${\displaystyle C_{R}}$ 及其内部${\displaystyle G}$ 均被${\displaystyle D}$ 包含，则有：

${\displaystyle \left|f^{(n)}(z_{0})\right|\leq {\frac {n!M}{R^{n}}}\qquad (n=1,2,3,...)}$ 

其中，M是${\displaystyle |f(z)|}$ 的最大值，${\displaystyle M=\max \limits _{|x-a|\in R}|f(x)|}$  。

${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\sum _{j=1}^{m}a_{ij})^{2}}}\leq \sum _{j=1}^{m}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a_{ij}^{2}}}}$ ^[3]

${\displaystyle m\geq \alpha >0,(\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}a_{ij})^{\alpha }\leq \prod _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}^{\alpha }}$ ^[4]

• 三角不等式
• 内积空间