柯西-施瓦茨不等式

数学上,柯西-施瓦茨不等式,又称施瓦茨不等式柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式,是一条很多场合都用得上的不等式;例如线性代数矢量数学分析无穷级数和乘积的积分,和概率论方差协方差。它被认为是最重要的数学不等式之一。它有一些推广,如赫尔德不等式

不等式以奥古斯丁·路易·柯西(Augustin Louis Cauchy),赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨(Hermann Amandus Schwarz),和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基英语Viktor_Bunyakovsky(Виктор Яковлевич Буняковский)命名。

叙述

对于一个内积空间中的向量  ,有

 

其中 表示内积,也叫点积。等价地,将两边开方,等式右边即可以写为两向量范数乘积的形式。

 

另外,当且仅当xy线性相关时,等式成立(仅两个向量而言,线性相关等同于平行)。

  有虚部,内积即为标准内积。如果用拔(bar,上划线)标记共轭复数,这个不等式可以更明确地表述为

 

由柯西—施瓦茨不等式可以推得一个重要结果:内积是连续的,甚至满足一阶利普希茨条件

特例

 

等式成立时:

 

也可以表示成

 

证明则须考虑一个关于 的一个一元二次方程式  

很明显的,此方程式无实数或有重根,故其判别式 

注意到

 

 

 

 

 

 

而等号成立于判别式 

也就是此时方程式有重根,故

 

  • 对平方可积的复值函数,有
 

这两例可更一般化为赫尔德不等式

  • 在3维空间,有一个较强结果值得注意:原不等式可以增强至拉格朗日恒等式
 
这是
 
n=3 时的特殊情况。

矩阵不等式

 列向量,则 [a]

  时不等式成立,设 非零, ,则 
 
 
等号成立  线性相关

  Hermite阵,且 ,则 

存在 ,设 
 
 
 
等号成立  线性相关

  Hermite阵,且 ,则 

存在 ,设 
 
 
 
等号成立  线性相关[1]

 ,则 [2]

复变函数中的柯西不等式

 在区域 及其边界上解析,  内一点,以 为圆心做圆周  ,只要 及其内部 均被 包含,则有:

 

其中,M是 的最大值, 

其它推广

 [3]

 [4]

参见

注释

  1. ^  表示x的共轭转置

参考资料

  1. ^ 王松桂. 矩阵不等式-(第二版). 
  2. ^ 程伟丽 齐静. Cauchy不等式矩阵形式的推广. 郑州轻工业学院学报(自然科学版). 2008, (4) [2015-03-24]. (原始内容存档于2019-06-08). 
  3. ^ 赵明方. Cauchy不等式的推广. 四川师范大学学报(自然科学版). 1981, (2) [2015-03-24]. (原始内容存档于2019-06-03). 
  4. ^ 洪勇. 推广的Cauchy不等式的再推广. 曲靖师范学院学报. 1993, (S1) [2015-03-24]. (原始内容存档于2019-06-03).