赫尔德不等式
赫尔德不等式是数学分析的一条不等式,取名自德国数学家奥托·赫尔德。这是一条揭示Lp空间的相互关系的基本不等式:
设为测度空间,,及,设在内,在内。则在内,且有
等号当且仅当与(几乎处处)线性相关时取得,即有常数使得对几乎所有成立。
若取作附计数测度,便得赫尔德不等式的特殊情形:对所有实数(或复数),有
- 。
我们称p和q互为赫尔德共轭。
若取为自然数集附计数测度,便得与上类似的无穷级数不等式。
当,便得到柯西-施瓦茨不等式。
备注
- 在赫尔德共轭的定义中,1/∞意味着零。
- 如果1 ≤ p,q < ∞,那么||f ||p和||g||q表示(可能无穷的)表达式:
- 以及
- 如果p = ∞,那么||f ||∞表示|f |的本性上确界,||g||∞也类似。
- 在赫尔德不等式的右端,0乘以∞以及∞乘以0意味着 0。把a > 0乘以∞,则得出 ∞。
证明
赫尔德不等式有许多证明,主要的想法是杨氏不等式。
如果||f ||p = 0,那么f μ-几乎处处为零,且乘积fg μ-几乎处处为零,因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||q = 0也是这样。因此,我们可以假设||f ||p > 0且||g||q > 0。
如果||f ||p = ∞或||g||q = ∞,那么不等式的右端为无穷大。因此,我们可以假设||f ||p和||g||q位于(0,∞)内。
如果p = ∞且q = 1,那么几乎处处有|fg| ≤ ||f ||∞ |g|,不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p = 1和q = ∞,情况也类似。因此,我们还可以假设p, q ∈ (1,∞)。
分别用f和g除||f ||p||g||q,我们可以假设:
我们现在使用杨氏不等式:
对于所有非负的a和b,当且仅当ap = bq时等式成立。因此:
两边积分,得:
这便证明了赫尔德不等式。
在p ∈ (1,∞)和||f ||p = ||g||q = 1的假设下,等式成立当且仅当几乎处处有|f |p = |g|q。更一般地,如果||f ||p和||g||q位于(0,∞)内,那么赫尔德不等式变为等式,当且仅当存在α, β > 0(即α = ||g||q且β = ||f ||p),使得:
- μ-几乎处处 (*)
||f ||p = 0的情况对应于(*)中的β = 0。||g||q =0 的情况对应于(*)中的α = 0。
参考文献
- Hardy, G.H.; Littlewood, J.E.; Pólya, G., Inequalities, Cambridge Univ. Press, 1934, ISBN 0521358809
- Hölder, O., Ueber einen Mittelwerthsatz, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, 1889: 38–47
- Kuptsov, L.P., Hölder inequality, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Rogers, L J., An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of math, 1888, 17: 145–150
- Kuttler, Kenneth, An introduction to linear algebra (PDF), Online e-book in PDF format, Brigham Young University, 2007 [2009-02-02], (原始内容存档 (PDF)于2008-08-07)
- 邢家省. Young不等式在Lp空间中的应用. 聊城大学学报(自然科学版). 2007年 第3期, 第20卷. ISSN 1672-6634.
- 张愿章. Young不等式的证明及应用. 河南科学. 2004年 第01期, 第22卷. ISSN 1004-3918.