闵可夫斯基不等式

数学中,闵可夫斯基不等式Minkowski inequality)表明Lp空间是一个赋范向量空间。设 是一个测度空间,那么 ,我们有:

如果 等号成立当且仅当 ,或者 .

闵可夫斯基不等式是 中的三角不等式。它可以用赫尔德不等式来证明。和赫尔德不等式一样,闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列向量的特殊形式:

将所有实数 维数)改成复数同样成立。

值得指出的是,如果 ,则 可以变为 .

积分形式的证明

我们考虑    次幂:

 

(用三角形不等式展开  

 

(用赫尔德不等式

 

 

(利用  ,因为 

 

现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项。首项除以尾项的最后一个因子,即得

 

这正是我们所要的结论。

对于序列的情形,证明是完全类似的。

参阅

参考文献

  • 邢家省; 王树泽. Young不等式在L~p空间中的应用. 聊城大学学报(自然科学版). 2007, (03): 19–22 [2022-03-04]. ISSN 1672-6634. (原始内容存档于2022-03-04). 
  • 张愿章. Young不等式的证明及应用. 河南科学. 2004, (01): 23–29 [2022-03-04]. ISSN 1004-3918. doi:10.13537/j.issn.1004-3918.2004.01.006. (原始内容存档于2022-03-04). 
  • 匡继昌. 常用不等式. 山东科技出版社. 2004年. ISBN 7-5331-3618-7. 
  • (英)哈代(G.H.Hardy),(英)利特尔伍德(J.E.Littlewood),(美)波利亚(G.Polya)著;越民义 译. 《不等式》. 人民邮电出版社. 2008: 第二章 第十七节. ISBN 978-7-115-18802-1.