倒易点阵(英语:reciprocal lattice),又称倒(易)晶格、倒(易)格子,是物理学中描述空间波函数的傅立叶变换后的周期性的一种方法。相对于正晶格所描述的实空间周期性,倒晶格描述的是动量空间,亦可认为是k空间的周期性。根据位置和动量所满足的庞特里亚金对偶性,布拉菲晶格的倒晶格仍然是一种布拉菲晶格,而倒晶格的倒晶格就会变回原始晶格(正晶格)。
数学描述
一维晶格
对于以 为基矢的一维晶格,其倒格子的基矢为
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二维晶格
对于以 为基矢的二维晶格,定义其二维平面法线向量为 ,其倒格子的基矢为
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三维晶格
对三维晶格而言,我们定义素晶胞的基矢 ,可以用下列公式决定倒晶格的晶胞基矢
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倒晶格与正晶格的关系
倒晶格与正晶格的基矢满足以下关系
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定义三维中的倒晶格向量G
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其中(h,k,l)为密勒指数,向量G的模长与正晶格的晶面间距有以下关系
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向量G和正晶格向量R有以下关系
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三维倒晶格中的晶胞体积ΩG和正晶格的晶胞体积Ω有以下关系
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倒晶格的物理意义
在此以一维晶格为例。在一个以 为基矢的一维晶格中,其波函数应该为布洛赫波
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定义其倒晶格向量
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以及一个函数
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由于 是一个布洛赫波包,满足
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所以
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也是一个布洛赫波包。则波函数有以下性质
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可见,倒晶格向量G描述了波函数在以k为基矢的动量空间(k空间)内的周期性。其向量单位,即倒晶格的基矢 是描述k空间中平移对称性的基矢。其最小可重复单位,即倒晶格的晶胞,称为第一布里渊区。由于波矢k和动量与波函数对应的能量密切相关,在能带理论中也用来解释能带的周期性。
倒晶格与晶体衍射
晶体衍射满足布拉格定律
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定义入射波波矢为 ,则上述公式可变换为
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因此满足布拉格定律的晶体衍射反映的不是正晶格,而是倒晶格。
进一步将以上公式转化为向量形式,定义入射波波矢为 ,反射波波矢为 ,可以得到
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这个形式也和劳厄方程式相符。
晶体衍射的想法也可以用来解释能带结构中,为什么能量的分布是不连续的。
常见布拉菲晶格的倒晶格
简单立方晶体
简单立方晶体的素格子基矢可以写成
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体积为
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可推得倒晶格的素格子基矢
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所以简单立方晶体的倒晶格同样为简单立方晶体,但是晶格常数为 。
面心立方晶体(FCC)
面心立方晶体的素格子基矢可以写成下列三项
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体积为
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可推得倒晶格之素格子基矢
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面心立方晶体的倒晶格为体心立方晶体。
体心立方晶体(BCC)
体心立方晶体的素格子基矢可以写成下列三项
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体积为
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可推得倒晶格之素格子基矢
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可得知体心立方晶体之倒晶格为面心立方晶体。
在布拉菲晶格中,三轴互为九十度的 (立方, 正方, 斜方)的晶体结构,是很容易被证明其倒晶格空间之三轴 与其真实晶格之三轴有垂直的关系.
参阅
- 晶体学
- 对偶空间
- 电子衍射
- 埃瓦尔德球(英语:Ewald's sphere)
- 密勒指数(英语:Miller index)
- 布里渊区
外部链接