李群胚

• 任何李群给出了具有一个对象的李群胚，反之亦然。所有李群胚理论包含李群理论。

• 给定任何流形 ${\displaystyle M}$ ，有一个李群胚称为配对李群胚，${\displaystyle M}$  作为对象流形，从一个对象到任何对象恰有一个态射。在这个群胚的态射流形是 ${\displaystyle M\times M}$  。

• 给定一个李群 ${\displaystyle G}$  作用在流形 ${\displaystyle M}$  上，有一个称为平移李群胚的李群胚，对每个三元组 ${\displaystyle g\in G,x,y\in M}$  使得 ${\displaystyle gx=y}$  有一个态射。

• 任何叶状结构给出了一个李群胚。

• 任何带有结构群 G 的主丛 ${\displaystyle P\to M}$  给出了一个李群胚，即在 M 上的 ${\displaystyle P\times P/G}$ ，这里 G 作用在二元组的每个分量上。通过配对群胚相容的表示定义复合。

除了群胚的同构，李群胚之间有一个粗糙一点的等价关系，即所谓的森田等价。一个很一般的例子是 切赫群胚之间的森田态射，如下所述。设 M 是一个光滑流形而 ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$  是 M 的开覆盖。定义不交并 ${\displaystyle G_{0}:=\bigsqcup _{\alpha }U_{\alpha }}$  ，显然有淹没 ${\displaystyle p:G_{0}\to M}$ 。为了说明流形 M 的结构定义态射集合 ${\displaystyle G_{1}:=\bigsqcup _{\alpha ,\beta }U_{\alpha \beta }}$ ，这里${\displaystyle U_{\alpha \beta }=U_{\alpha }\cap U_{\beta }\subset M}$ 。源与靶映射定义为嵌入 ${\displaystyle s:U_{\alpha \beta }\to U_{\alpha }}$  与 ${\displaystyle t:U_{\alpha \beta }\to U_{\beta }}$ 。如果我们将 ${\displaystyle U_{\alpha \beta }}$  视为 M 的子集，乘法是显然的（${\displaystyle U_{\alpha \beta }}$  与 ${\displaystyle U_{\beta \gamma }}$  一致的点事实上在 M 中相同，也在 ${\displaystyle U_{\alpha \gamma }}$  里）。

这个切赫群胚事实上是 ${\displaystyle M\Rightarrow M}$  的拉回群胚，即 M 在 p 下的平凡群胚。这便是什么为森田态射。

为了得到等价关系的概念，我们需要这个构造具有对称性与传递性。在这种意义下，我们说两个群胚 ${\displaystyle G_{1}\Rightarrow G_{0}}$  与 ${\displaystyle H_{1}\Rightarrow H_{0}}$  森田等价当且仅当存在第三个群胚${\displaystyle K_{1}\Rightarrow K_{0}}$  以及从 G 到 K 与 H 到 K 的两个森田态射。传递性是群胚主丛范畴中有趣的构造。

在这里问题出现：在森田等价下什么是不变的。有两个显然的东西，一个是群胚的粗糙商／轨道空间 ${\displaystyle G_{0}/G_{1}=H_{0}/H_{1}}$ ，另一个是 ${\displaystyle p\in G_{0}}$  与 ${\displaystyle q\in H_{0}}$  中对应点的稳定群。

更进一步的问题是粗糙商空间的是怎么到一个光滑栈这个概念的。我们可以期望粗糙商是光滑流形，比如如果稳定群是平凡的（切赫群胚的例子便是）。但如果稳定群变了，我们便不能再指望得到光滑流形。解决方案是回到问题然后定义：

一个光滑栈是李群胚的一个森田等价类。栈上自然的几何对象是李群胚在森田等价下不变的几何对象。作为一个例子是考虑李群胚的上同调。

例子

• 光滑栈的概念非常广泛，显然所有光滑流形是光滑栈。
• 轨形也是光滑栈，即 艾达尔群胚的等价类。
• 叶状结构的轨道空间是另一类例子。

• 埃雷斯曼联络
• 仿射联络
• 曲率形式

• Alan Weinstein, Groupoids: unifying internal and external symmetry, AMS Notices, 43 (1996), 744-752. Also available as arXiv:math/9602220 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

• Kirill Mackenzie, Lie Groupoids and Lie Algebroids in Differential Geometry, Cambridge U. Press, 1987.

• Kirill Mackenzie, General Theory of Lie Groupoids and Lie Algebroids, Cambridge U. Press, 2005