纤维流形

在数学中，纤维流形（英语：Fibrifold），又称为纤维形，是一种基底空间为轨形（英语：Orbifold）的纤维空间（英语：fiber space），在2001年时由约翰·何顿·康威、奥拉夫·德尔加多·弗里德里希（Olaf Delgado Friedrichs）与丹尼尔·H·赫森（Daniel H. Huson）等人提出，介绍了一个三维纤维流形的符号系统，并用这个名字来分配给219仿射空间群类型。其中184个被认为是可还原，和35个不可约的。

35/36不可约的立方空间群, 在纤维形和标准索引赫曼—莫金记号（英语：Hermann–Mauguin notation）以红色表示. 212、213对映对给予同样的纤维形符号。子群索引 1,2,4,8,16 从顶部到底部被划分为/4群及四次索引（以蓝色表示）。

不可约立方空间群

35个不可约空间群分别对应立方空间群。

35个不可约空间群
8^o:2	4⁻:2	4^o:2	4⁺:2	2⁻:2	2^o:2	2⁺:2	1^o:2
8^o	4⁻	4^o	4⁺	2⁻	2^o	2⁺	1^o
8^o/4	4⁻/4	4^o/4	4⁺/4	2⁻/4	2^o/4	2⁺/4	1^o/4
8^−o	8^oo	8^+o	4^{− −}	4^−o	4^oo	4^+o	4⁺⁺	2^−o	2^oo	2^+o

36个立方空间群
族点群	六八面体 *432 (m3m)	六四面体 *332 (43m)	螺旋形 432 (432)	偏方复十二面体 3*2 (m3)	四半面体 332 (23)
bc晶格 (I)	8^o:2 (Im3m)	4^o:2 (I43m)	8^+o (I432)	8^−o (I3)	4^oo (I23)
nc晶格(P)	4⁻:2 (Pm3m)	2^o:2 (P43m)	4^−o (P432)	4⁻ (Pm3)	2^o (P23)
nc晶格(P)	4⁺:2 (Pn3m)	2^o:2 (P43m)	4⁺ (P4₂32)	4^+o (Pn3)	2^o (P23)
fc晶格(F)	2⁻:2 (Fm3m)	1^o:2 (F43m)	2^−o (F432)	2⁻ (Fm3)	1^o (F23)
fc晶格(F)	2⁺:2 (Fd3m)	1^o:2 (F43m)	2⁺ (F4₁32)	2^+o (Fd3)	1^o (F23)
其他	8^o (Pm3n) 8^o/4 (Ia3d) 8^oo (Pn3n) 4^{− −} (Fm3c) 4⁺⁺ (Fd3c)	4^o (P43n) 4^o/4 (I43d) 2^oo (F43c)	4⁺/4 (I4₁32) 2⁺/4 (P4₃32, P4₁32)	2⁻/4 (Pa3) 4⁻/4 (Ia3)	1^o/4 (P2₁3) 2^o/4 (I2₁3)

下表列出索引为195-230的不可约群符号、赫曼—莫金符号（英语：Hermann–Mauguin notation）符号、纤维形符号、几何符号和考克斯特表示法：

族 (轨形（英语：Orbifold notation）点群)	空间群
四半面体 23 (332)	195	196	197	198	199
	P23	F23	I23	P2₁3	I2₁3
	2^o	1^o	4^oo	1^o/4	2^o/4
	P3.3.2	F3.3.2	I3.3.2	P3.3.2₁	I3.3.2₁
	[(4,3⁺,4,2⁺)]	[3^[4]]⁺	[[(4,3⁺,4,2⁺)]]
偏方复十二面体 43m (3*2)	200	201	202	203	204	205	206
	Pm3	Pn3	Fm3	Fd3	I3	Pa3	Ia3
	4⁻	4^+o	2⁻	2^+o	8^−o	2⁻/4	4⁻/4
	P43	P_n43	F43	F_d43	I43	P_b43	I_b43
	[4,3⁺,4]	[[4,3⁺,4]⁺]	[4,(3^1,1)⁺]	[[3^[4]]]⁺	[[4,3⁺,4]]
螺旋形 432 (432)	207	208	209	210	211	212	213	214
	P432	P4₂32	F432	F4₁32	I432	P4₃32	P4₁32	I4₁32
	4^−o	4⁺	2^−o	2⁺	8^+o	2⁺/4		4⁺/4
	P4.3.2	P4₂.3.2	F4.3.2	F4₁.3.2	I4.3.2	P4₃.3.2	P4₁.3.2	I4₁.3.2
	[4,3,4]⁺	[[4,3,4]⁺]⁺	[4,3^1,1]⁺	[[3^[4]]]⁺	[[4,3,4]]⁺
六四面体 43m (*332)	215	216	217	218	219	220
	P43m	F43m	I43m	P43n	F43c	I43d
	2^o:2	1^o:2	4^o:2	4^o	2^oo	4^o/4
	P33	F33	I33	P_n3_n3_n	F_c3_c3_a	I_d3_d3_d
	[(4,3,4,2⁺)]	[3^[4]]	[[(4,3,4,2⁺)]]	[[(4,3,4,2⁺)]⁺]	[(4,(3,4)⁺,2⁺)]
六八面体 m3m (*432)	221	222	223	224	225	226	227	228	229	230
	Pm3m	Pn3n	Pm3n	Pn3m	Fm3m	Fm3c	Fd3m	Fd3c	Im3m	Ia3d
	4⁻:2	8^oo	8^o	4⁺:2	2⁻:2	4⁻⁻	2⁺:2	4⁺⁺	8^o:2	8^o/4
	P43	P_n4_n3_n	P4_n3_n	P_n43	F43	F4_c3_a	F_d4_n3	F_d4_c3_a	I43	I_b4_d3_d
	[4,3,4]		[[4,3,4]⁺]		[4,3^1,1]	[4,(3,4)⁺]	[[3^[4]]]		[[4,3,4]]

参考文献

Conway, John Horton; Delgado Friedrichs, Olaf; Huson, Daniel H.; Thurston, William P., On three-dimensional space groups, Beiträge zur Algebra und Geometrie. Contributions to Algebra and Geometry, 2001, 42 (2): 475–507 [2014-04-28], ISSN 0138-4821, MR 1865535, （原始内容存档于2021-04-18）
The Crystallographic Space Groups in Geometric Algebra （页面存档备份，存于互联网档案馆）, David Hestenes and Jeremy Holt, Journal of Mathematical Physics, January 2007
The Fibrifold Notation and Classification for 3D Space Groups^{[永久失效链接]}, Daniel H. Huson, 2008
The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 (Paper 22) Regular and Semi Regular Polytopes I