七维正八胞体

在几何学中,七维正八胞体OctaexonOcta-7-tope)是一种自身对偶七维多胞体英语7-polytope[1],是七维空间的单纯形也是七维空间中最简单的正图形,因此又称为7-单纯形(7-simplex[2]:127 ,由8个六维正七胞体六维胞维基数据所列Q18028565组成,其二面角为cos−1(1/7)约为81.79°[1]。乔纳森·鲍尔斯(Jonathan Bowers)将七维正八胞体缩写为oca[3]

正八胞体
7-simplex t0.svg
类型七维多胞体英语7-polytope
八胞体
家族单纯形
维度七维
对偶多胞形七维正八胞体自身对偶在维基数据编辑
识别
鲍尔斯缩写
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
oca在维基数据编辑
数学表示法
考克斯特符号
英语Coxeter-Dynkin diagram
node_1 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 
施莱夫利符号{3,3,3,3,3,3}
{36}在维基数据编辑
性质
六维8个六维正七胞体6-simplex t0.svg
五维28个五维正六胞体5-simplex t0.svg
四维56个正五胞体4-simplex t0.svg
70个正四面体3-simplex t0.svg
56个正三角形2-simplex t0.svg
28
顶点8
欧拉示性数2
特殊面或截面
皮特里多边形正八边形
组成与布局
顶点图六维正七胞体
6-simplex t0.svg
对称性
对称群A7 [3,3,3,3,3,3]
特性

性质

七维正八胞体共由8个顶点、28条边、56个三角形面、70个正四面体的三维胞、56个正五胞体四维胞英语4-face、28个五维正六胞体五维胞维基数据所列Q18028552和8个六维正七胞体六维胞维基数据所列Q18028565组成,其中六维正七胞体为七维正八胞体的维面。对于一个边长为a的七维正八胞体,其超胞积是 ,表胞积是 ,高是 。若一个七维正八胞体的棱长为1,则其外接七维超球的半径为 ,内切七维超球的半径为 [1]

边长为2的七维正八胞体可以内接于单位七维超立方体英语7-cube中。[4]下一个可以内接于单位超方形的最大单纯形十一维正十二胞体[5]

作为一种排布

七维正八胞体的排布矩阵英语Configuration_(polytope)为:[1]

 

行和列对应于七维正八胞体的顶点四维胞英语4-face五维胞维基数据所列Q18028552六维胞维基数据所列Q18028565。对角线上的数字表示该元素在七维正八胞体中的数量。非对角线的数量表示对应行所代表的元素上有多少列所代表的元素交于该处。由于七维正八胞体是一种自身对偶的多胞体,因此这个排布矩阵旋转180度后会相同。[6][7]

顶点坐标

若一个七维正八胞体几何中心位于原点,且边长为2单位长,则其顶点坐标为:

 
 
 
 
 
 
 

透过将七维正八胞体可以内接于七维超立方体英语7-cube中可以获得更简单的坐标集合,其值为:[1]

 
 
 
 
 
 
 
 

更简单地,七维正八胞体可以坐落于八维空间坐标(0,0,0,0,0,0,0,1)的排列。这个结构是基于八维正轴体英语8-orthoplex维面

图像

三维空间的七维正八胞体
 
三角化四面体包络中的球棍模型
 
振幅多面体英语Amplituhedron表面呈现的七维正八胞体
 
七维正八胞体投影到三维,再用相机投影示意其皮特里投影

正交投影

正投影图
Ak考克斯特平面英语Coxeter_element#Coxeter_plane A7 A6 A5
图像      
二面体群对称性英语Dihedral symmetry [8] [7] [6]
Ak考克斯特平面 A4 A3 A2
图像      
二面体群对称性 [5] [4] [3]

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Klitzing, Richard. octaexon. bendwavy.org. [2022-12-19]. (原始内容存档于2022-12-19). 
  2. ^ French, K.L. The Hidden Geometry of Life: The Science and Spirituality of Nature. Gateway series. Watkins Media Limited. 2014 [2022-12-19]. ISBN 9781780288451. (原始内容存档于2023-01-09). 
  3. ^ Klitzing, Richard. 7D uniform polytopes (polyexa) x3o3o3o3o3o3o — oca. bendwavy.org. 
  4. ^ Adams, Joshua; Zvengrowski, Peter; Laird, Philip. Vertex Embeddings of Regular Polytopes. Expositiones Mathematicae. 2003. 
  5. ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A019442. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Integers n such that a simplex of dimension n-1 can be inscribed in a hypercube of dimension n-1 
  6. ^ Coxeter, H.S.M. §1.8 Configurations. Regular Polytopes英语Regular Polytopes (book) 3rd. Dover. 1973. ISBN 0-486-61480-8. 
  7. ^ Coxeter, H.S.M. Regular Complex Polytopes 2nd. Cambridge University Press. 1991: 117 [2022-12-19]. ISBN 9780521394901. (原始内容存档于2023-01-09).