雅可比多项式

数学中,雅可比多项式 (英语:Jacobi polynomials,有时也被称为超几何多项式)是一类正交多项式。它的名称来自十九世纪普鲁士数学家卡尔·雅可比

定义

雅可比多项式是从超几何函数中获得的,这个多项式列实际上是有限的:

 

其中的 阶乘幂符号(这里是指上升阶乘幂),(Abramowitz & Stegun p561页面存档备份,存于互联网档案馆))因此实际上的表达式是:

 

z等于1的时候,上式中的无穷级数只有第一项非零,这时得到:

 

这里对于每一个整数 

 

 是通常定义的伽马函数,其中约定,当整数n为小于零的时候:

 

这个多项式列满足正交性条件:

 

其中 而且 

这个多项式列还满足对称性的关系:

 

因此在z等于-1的时候也可以直接算出多项式值:

 

对于实数  ,雅可比多项式也可以写成另一种形式:

 

其中   并且  

有一个特殊的情形,是当以下四个量:     以及   都是非负的实数的时候,雅可比多项式可以写成如下形式:

 

其中 的求和是对所有使得求和项为非负实数的整数 求和。

在这种情形下,以上表达式使得维纳d-矩阵  )可以写成用雅可比多项式表达的形式[1]

 

导数

身为多项式的一种,雅可比多项式也是无限连续可微(可导)的函数。雅可比多项式的第k次导函数为:

 

微分方程

雅可比多项式 是以下的二阶齐次线性常微分方程的解:

 

参见

注释

  1. ^ L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981)

参考来源

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22页面存档备份,存于互联网档案馆)", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, pp. 773, ISBN 978-0486612720, MR0167642, http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_773.htm页面存档备份,存于互联网档案馆) .
  • Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan, Special functions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 71, Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-0-521-62321-6, MR1688958 
  • Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Orthogonal Polynomials页面存档备份,存于互联网档案馆)", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255