雅可比多项式是从超几何函数中获得的,这个多项式列实际上是有限的:
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其中的 是阶乘幂符号(这里是指上升阶乘幂),(Abramowitz & Stegun p561 (页面存档备份,存于互联网档案馆))因此实际上的表达式是:
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当z等于1的时候,上式中的无穷级数只有第一项非零,这时得到:
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这里对于每一个整数
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而 是通常定义的伽马函数,其中约定,当整数n为小于零的时候:
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这个多项式列满足正交性条件:
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其中 而且 。
这个多项式列还满足对称性的关系:
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因此在z等于-1的时候也可以直接算出多项式值:
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对于实数 ,雅可比多项式也可以写成另一种形式:
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其中 并且 。
有一个特殊的情形,是当以下四个量:
、 、 以及
都是非负的实数的时候,雅可比多项式可以写成如下形式:
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其中 的求和是对所有使得求和项为非负实数的整数 求和。
在这种情形下,以上表达式使得维纳d-矩阵 ( )可以写成用雅可比多项式表达的形式[1]:
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