椭圆柱坐标系

椭圆柱坐标 ${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ z)}$  最常见的定义是

${\displaystyle x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu }$  、

${\displaystyle y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu }$  、

${\displaystyle z=z}$  ；

其中，实数 ${\displaystyle a>0}$  ，实数 ${\displaystyle \mu \geq 0}$  ，弧度 ${\displaystyle \nu \in [0,2\pi )}$  ，坐标 z 是实数。

${\displaystyle \mu }$  的等值曲线形成了椭圆，而 ${\displaystyle \nu }$  的等值曲线则形成了双曲线：

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$  、

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$  。

椭圆柱坐标 ${\displaystyle \mu }$  与 ${\displaystyle \nu }$  的标度因子相等：

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}$  、

${\displaystyle h_{z}=1}$  。

所以，无穷小体积元素等于

${\displaystyle dV=a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu dz}$  。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}$  。

其它微分算子，例如 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$  与 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$  ，都可以用椭圆柱坐标表达，只需要将标度因子代入正交坐标条目内对应的一般公式。

有时候，会用到另外一种椭圆柱坐标系 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}$  ，其中， ${\displaystyle \sigma =\cosh \mu }$  ，${\displaystyle \tau =\cos \nu }$  。同样地，${\displaystyle \sigma }$  的等值曲线是椭圆，而 ${\displaystyle \tau }$  的等值曲线是双曲线。在这里， ${\displaystyle \tau }$  必须属于区间 ${\displaystyle [-1,\ 1]}$  ，而 ${\displaystyle \sigma }$  必须大于或等于 ${\displaystyle 1}$  。

用椭圆柱坐标系，任何在 xy-平面上的点 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}$  ，其与两个焦点的距离 ${\displaystyle d_{1}}$  ，${\displaystyle d_{2}}$  有一个很简单的关系（回想两个焦点 ${\displaystyle F_{1}}$  与 ${\displaystyle F_{2}}$  的坐标分别为 ${\displaystyle (-a,\ 0)}$  与 ${\displaystyle (a,\ 0)}$  ）：

${\displaystyle d_{1}+d_{2}=2a\sigma }$  、

${\displaystyle d_{1}-d_{2}=2a\tau }$  。

因此，

${\displaystyle d_{1}=a(\sigma +\tau )}$  、

${\displaystyle d_{2}=a(\sigma -\tau )}$  。

第二种椭圆柱坐标有一个缺点，那就是它与直角坐标并不保持一一对应关系：

${\displaystyle x=a\sigma \tau }$  ，

${\displaystyle y^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}$  。

第二种椭圆柱坐标 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}$  的标度因子是

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}$  、

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}}$  、

${\displaystyle h_{z}=1}$  。

所以，无穷小体积元素等于

${\displaystyle dV=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau dz}$  。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}$  。

其它微分算子，例如 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$  与 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$  ，都可以用第二种椭圆柱坐标表达，只需要将第二种标度因子代入正交坐标条目内对应的一般公式。

椭圆柱坐标最经典的用途是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程这类的偏微分方程式。在这些方程式里，椭圆柱坐标允许分离变数法的使用。举一个典型的例题，有一块宽度为 ${\displaystyle 2a}${\displaystyle 2a}   的平板导体，请问其周围的电场为什么？应用椭圆柱坐标，我们可以有条不紊地分析这例题。

三维的波方程，假若用椭圆柱坐标来表达，则可以用分离变数法解析，形成了马蒂厄微分方程 (Mathieu differential equation) 。

• 拉普拉斯-龙格-冷次向量

• Philip M. Morse, Herman Feshbach. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 657.   引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Henry Margenau, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 182–183.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Korn GA. Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 179.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 97.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Moon P, Spencer DE. Elliptic-Cylinder Coordinates (η, ψ, z). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: pp. 17–20 (Table 1.03). ISBN 978-0387184302.  引文格式1维护：冗余文本 (link)