三角函数线

三角函数线是正弦线、余弦线和正切线的总称,是三角函数几何表示。

三角函数线,角 θ的所有三角函数在几何上可以依据以O点为圆心的单位圆来构造。

由于与点P(x,y)在终边上的位置无关,为简单起见,选取角α的终边 与单位圆的交点为P(x,y),则sinα=y,cosα=x

过点P作x轴的垂线,垂足为M,显然,线段OM的长度为|x|,为了去掉绝对值符号,我们引入有向线段的概念[1]

有向线段

规定了方向(起点和终点)的线段称为有向线段(与向量有区别),类似地可以把规定了正方向的直线称为有向直线。若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行,根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反,分别把它的长度添上正号或负号,这样所得的数,叫做有向线段的数量,记为AB。

正弦线和余弦线

引入有向线段的概念后,如果x>0,如图,有向线段OM与x轴同向,其数量为x,如果x<0,有向线段OM与x轴反向,其数量也为x,故总有OM=x。同理可知MP=y

所以有,sinα=MP,cosα=OM

即有向线段MP、OM的数量分别等于α的正弦、α的余弦。因此,我们把有向线段MP,OM分别叫作角α的正弦线余弦线

正切线

当角α的终边在y轴的右侧时(如左图),在角α的终边上取点T(1,y'),则 (A为单位圆与x轴正半轴的交点)

当角α终边在y轴左侧时(如右图),在角α的终边的反向延长线上取点T(1,y')由于它关于原点的对称点Q(-1,-y')在角α的终边上,故有 

即总有tanα=AT

因此,我们把有向线段AT叫做角α的正切线


参考资料

  1. ^ 《数学 必修4》. 江苏教育出版社. : 12~13. ISBN 978-7-5343-6225-5 (中文(简体)).